Distribución hipergeométrica: definición, ecuaciones y ejemplos

Características de un experimento hipergeométrico

Mallory está creando una liga de fútbol juvenil en su ciudad. Hay 120 niños que se han inscrito para jugar. Del total de 120 niños, 70 son niños y 50 son niñas. Mallory planea crear 12 equipos con 10 personas en cada equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo que seleccione tenga exactamente cinco chicas?

La selección de niños en el equipo de fútbol es un ejemplo de un experimento hipergeométrico . Para que un experimento estadístico sea hipergeométrico, los datos recopilados deben ser discretos. Además, se deben cumplir los siguientes criterios:

• La muestra debe tomarse de dos grupos diferentes. En este caso, la muestra es el equipo de fútbol, ​​y los dos grupos de los que se extrae son el grupo de 50 niñas y el grupo de 70 niños. Los individuos de AMBOS de estos grupos estarán en el mismo equipo.
• Quiere encontrar la probabilidad de que haya un número específico de miembros de UNO de los grupos. Aquí, queremos saber la probabilidad de tener exactamente cinco chicas en el equipo.
• Cada púa NO se reemplaza antes de elegir otra. Si se reemplaza cada elemento seleccionado, entonces el muestreo se realiza CON reemplazo. Si no se reemplaza, el muestreo se realiza SIN reemplazo. Siempre que muestree sin reemplazo, cada selección no es independiente. Esto significa que la probabilidad de dibujar una niña para la segunda selección cambia dependiendo de si se seleccionó primero a una niña o un niño.
• Los ensayos no se ajustan a una distribución de Bernoulli. Para utilizar una distribución de Bernoulli, cada prueba debe tener un 50% de probabilidad de éxito o fracaso. Ese no es el caso aquí porque hay más niños que niñas en el grupo de personas entre las que se seleccionan los equipos y porque la probabilidad cambia con cada selección.

Si determina que tiene un experimento hipergeométrico, puede usar la distribución hipergeométrica para calcular la probabilidad deseada.

Revisión de combinaciones

Para calcular una probabilidad asociada con un experimento hipergeométrico, primero necesita saber cómo calcular el número total de combinaciones posibles que se pueden formar a partir de un grupo de objetos (o personas en este caso). La siguiente fórmula se utiliza para calcular el número total de combinaciones que se pueden crear a partir de un grupo de n objetos totales si selecciona r objetos a la vez:

Usemos esta ecuación para calcular cuántos grupos diferentes de cinco niñas podría seleccionar de los 50 que se han inscrito para jugar al fútbol.

Esto significa que de las 50 niñas que se han inscrito para jugar al fútbol, ​​hay 2,118,760 formas diferentes de seleccionar cinco de ellas a la vez.

Distribución hipergeométrica y cálculos de ejemplo

Ahora, veamos cómo usar combinaciones para encontrar probabilidades asociadas con una distribución hipergeométrica.

• Primero, calcule el número de combinaciones posibles que puede hacer del primer grupo. En este caso, eso significa que necesitas saber de cuántas formas puedes elegir a cinco chicas del grupo de 50 chicas que se han inscrito para jugar al fútbol. Recuerde, calculamos que esto fue 2,118,760
• A continuación, calcule el número de combinaciones posibles que puede hacer del segundo grupo. En este caso, si hay cinco niñas en un equipo, eso significa que también hay cinco niños. Por lo tanto, debe calcular la cantidad de formas en que puede elegir cinco niños del grupo de 70 niños en total que quieren jugar al fútbol:

• En tercer lugar, calcule el número total de combinaciones que puede realizar con ambos grupos. Para este problema, necesita calcular cuántos grupos distintos de diez puede formar de los 120 jugadores en total.

• Multiplica el número de combinaciones que puedes hacer con el grupo 1 (las chicas) por el número de combinaciones que puedes hacer con el grupo 2 (los chicos) para encontrar el número total de formas de formar un equipo con exactamente 5 chicas y 5 chicos. . Finalmente, divida esto por el número total de combinaciones que puede hacer de ambos grupos combinados para encontrar la probabilidad.

Esto significa que la probabilidad de elegir un equipo de fútbol que contenga exactamente 5 chicas es 0,221.

¿Qué pasaría si quisieras encontrar la probabilidad de que el equipo contuviera AL MENOS 5 niñas en lugar de exactamente 5 niñas? En ese caso, necesitaría seguir el mismo procedimiento para encontrar la probabilidad de obtener 5 niñas, 6 niñas, 7 niñas, 8 niñas, 9 niñas y 10 niñas. Luego, sumarías todos estos para encontrar la probabilidad total de tener al menos 5 niñas.

Resumen de la lección

Un experimento hipergeométrico es aquel en el que está seleccionando una muestra de dos grupos posibles. En un experimento hipergeométrico, el muestreo se realiza sin reemplazo, por lo que cada selección no es independiente. Los datos recopilados en un experimento hipergeométrico son siempre discretos y no continuos. La probabilidad de obtener una combinación específica de cada grupo de la muestra se puede determinar mediante la distribución hipergeométrica.

Primero, calcule el número de combinaciones posibles que puede hacer del primer grupo. Luego, calcula la cantidad de combinaciones posibles que puedes hacer del segundo grupo. Multiplique estos juntos y luego divida por el número total de combinaciones posibles tomadas de ambos grupos combinados para encontrar la probabilidad deseada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador