El sistema de coordenadas cartesianas: trazar puntos y graficar líneas
El sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema que le indica su posición exacta en un gráfico. ¿Por qué es útil esto? Es útil porque puede usar este sistema para graficar una serie de puntos que proporcionarán soluciones a sus ecuaciones. Las ecuaciones que se utilizan con este sistema tendrán dos variables, una para cada eje.
El sistema de coordenadas cartesianas utiliza un eje horizontal que se llama eje x y un eje vertical llamado eje y . Las ecuaciones para líneas en este sistema tendrán tanto la variable x como la y . Por ejemplo, la ecuación 2 x + y = 2 es un ejemplo de una línea en este sistema. Se pueden escribir muchas ecuaciones con estas dos variables. Puede tener ecuaciones que expliquen el crecimiento de la población y puede tener ecuaciones que expliquen la factura de su teléfono celular.
¿Qué aspecto tiene un sistema de coordenadas cartesiano? Parece papel cuadriculado con una línea oscura para el eje x y otra línea oscura para el eje y . Estos dos ejes se cruzan perpendiculares entre sí. El punto donde se cruzan está en el punto 0 para cada eje. Este gráfico se extiende para siempre en todas las direcciones. Ambos ejes están etiquetados con números según la recta numérica.
Puede pensar en el eje x como una recta numérica horizontal y el eje y como una recta numérica vertical. Sin embargo, cuando dibuja uno, solo lo dibuja tan grande como lo necesita. Si sólo necesita la x eje x y la y eje x para subir a 10, entonces puede dejar allí para ambos ejes. Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona. Empecemos por los puntos.
Puntos
Antes de graficar puntos, hablemos de cómo se etiquetan los puntos. Los puntos se etiquetan según su posición en la gráfica en relación con el eje x y el eje y . Por ejemplo, si observa este punto y dibuja una línea vertical imaginaria hacia abajo, verá que aterriza donde el eje x es igual a 2. Este número del eje x será la primera parte de su etiqueta.
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Al dibujar una línea horizontal imaginaria, verá que cruza el eje y donde es igual a 3. Esta es la segunda parte de la etiqueta para ese punto. Para etiquetar este punto, entonces, escribe la primera parte y la segunda parte separadas por una coma dentro de un par de paréntesis así: (2, 3).
Mira este segundo punto. Intente etiquetar este por su cuenta. ¿Dónde cruza la línea vertical imaginaria el eje x ? ¿Qué pasa con la línea horizontal imaginaria?
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Debido a que la línea vertical imaginaria cruza el eje x en 4 y la línea horizontal imaginaria cruza el eje y en -2, el punto se etiqueta (4, -2).
Puntos de trazado
Ahora que sabe cómo se etiquetan los puntos, es más fácil trazarlos. Trazar puntos consiste esencialmente en etiquetar puntos a la inversa.
Por ejemplo, si se le da el punto (0, 3) para trazar, primero encontrará la línea imaginaria vertical donde el valor de x es 0 y luego seguirá esta línea hacia arriba o hacia abajo hasta llegar a la línea imaginaria horizontal donde el valor de y es 3. Una vez que lo haya encontrado, coloque un punto en el gráfico y etiquételo con (0, 3).
Intenta trazar el punto (-1, 2). Primero encuentra la línea imaginaria vertical donde el eje x es -1. Una vez que lo haya encontrado, siga hasta donde el eje y es 2. Ha encontrado el punto. Ahora coloque un punto allí y etiquételo con (-1, 2). ¡Lo hiciste!
Graficar líneas
Para graficar líneas, primero calculamos dos o más puntos y luego los trazamos. Hay dos formas de graficar una línea. Puede crear una tabla de dos o más puntos o se puede calcular la x – y y -intercepts a trama. Las intersecciones son donde las líneas imaginarias desde el punto cruzan cada eje.
Intentemos graficar la línea 2 x + y = 2 usando tanto el método de tabla como el método de intersección. Para el método de tabla, primero creamos una tabla con dos columnas, una para el eje x y otra para el eje y, como esta:
X | y |
---|---|
Podemos optar por calcular solo dos puntos o más. Recomiendo calcular tres puntos para que pueda estar seguro de que tiene una línea recta. Para calcularlos, establece el valor de x y luego encuentra el valor de y usando álgebra.
Los números más fáciles de elegir para el valor x son -1, 0 y 1. Recomiendo usar estos. Veamos qué sucede cuando conectamos estos números en nuestra ecuación de una línea. Esto es lo que sucede cuando x = -1:
2 (-1) + y = 2
-2 + y = 2
-2 + 2 + y = 2 + 2
y = 4
Entonces nuestro primer punto es (-1, 4). Podemos llenar nuestra mesa así:
X | y |
---|---|
-1 | 4 |
Continuando, esto es lo que sucede cuando x = 0:
2 (0) + y = 2
0 + y = 2
y = 2
Nuestra tabla ahora se ve así:
X | y |
---|---|
-1 | 4 |
0 | 2 |
Para x = 1, esto es lo que sucede:
2 (1) + y = 2
2 + y = 2
2 – 2 + y = 2 – 2
y = 0
Nuestra tabla terminada ahora se ve así:
X | y |
---|---|
-1 | 4 |
0 | 2 |
1 | 0 |
Ahora podemos ir y trazar estos tres puntos en nuestra gráfica. Al trazarlos, vemos que siguen un camino recto. Luego dibujamos una línea recta a través de estos puntos para nuestra línea.
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El segundo método, el método de intersección, usa solo dos puntos. Para calcular los puntos usando este método, primero establecemos la x en 0 para calcular nuestra y para nuestro primer punto, y luego establecemos la y igual a 0 para calcular la x para nuestro segundo punto. Vamos a ver cómo funciona.
Cuando x = 0, obtenemos esto:
2 (0) + y = 2
0 + y = 2
y = 2
Entonces, nuestro primer punto es (0, 2). Luego, cuando y = 0, obtenemos esto para x :
2 x + 0 = 2
2 x = 2
2 x / 2 = 2/2
x = 1
Entonces nuestro segundo punto es (1, 0). Al trazar estos dos puntos y trazar una línea a través de los dos puntos, obtenemos una línea como esta.
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Esta línea debe verse como la línea que acabamos de dibujar, ya que estamos graficando la misma línea.
A menos que el problema le indique lo contrario, puede usar cualquiera de los métodos para graficar su línea. Elija el que le resulte más fácil. Pero recomiendo practicar ambos métodos para que se sienta bien en ambos. Usa la forma de la ecuación que acabamos de usar, pero prueba con diferentes números para ver qué tipo de líneas obtienes.
Resumen de la lección
¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que el sistema de coordenadas cartesianas es un sistema que le indica su posición exacta en un gráfico. Tiene un eje horizontal llamado eje x y un eje vertical llamado eje y . Los puntos se etiquetan de acuerdo con su ubicación en relación con estos dos ejes. Al dibujar líneas imaginarias horizontales y verticales desde el punto, encontramos dónde el punto cruza cada eje. Estos números forman la etiqueta del punto.
Por ejemplo, el punto (2, 1) tiene líneas imaginarias que cruzan el eje x en 2 y el eje y en 1. El número del eje x siempre se escribe primero, seguido por el número del eje y . Las ecuaciones para rectas incluirán tanto la x como la y . 2 x + y = 2 es un ejemplo de una ecuación de una línea. Puede ver que tiene ambas variables en la ecuación. Para graficar esta línea, puede usar el método de tabla o el método de intersección.
El método de la tabla implica elegir al menos dos valores para la x y averiguar a qué equivale la y para esos valores y luego trazar los puntos. Se recomiendan tres valores para asegurar una línea recta y correcta. El método de intersección implica establecer x igual a 0 para encontrar y para el primer punto y luego establecer y igual a 0 para encontrar x para el segundo punto. Luego se grafican los dos puntos y se dibuja una línea a través de ellos.
Los resultados del aprendizaje
Al final de esta lección, debería poder:
- Explicar el sistema de coordenadas cartesianas
- Localizar puntos en un gráfico
- Resolver ecuaciones de línea usando el método de tabla o el método de intersección y graficar una línea
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