El teorema HA (ángulo de hipotenusa): prueba, explicación y ejemplos

El teorema HA

Si eres un triángulo, descubrir que eres congruente con otro triángulo es un gran problema. Imagínese descubrir un día que tiene un gemelo que no conocía. ¿Qué tan sorprendente podría ser? Es como tener un “tú” de repuesto que entra de repente en tu vida.

En geometría, tratamos de encontrar triángulos gemelos de cualquier forma que podamos. Hay todo tipo de métodos, como lado-lado-lado, ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y más. En el mundo real, no funciona de esa manera. No puedes simplemente comparar piernas con un extraño para probar la congruencia.

Con dos triángulos rectángulos, ya sabemos que tienen algo en común: esos ángulos rectos. Entonces, es como si fueran al menos primos. Y podemos demostrar que son congruentes con el teorema del ángulo de la hipotenusa.

El teorema del ángulo de la hipotenusa , también conocido como el teorema HA , establece que “si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes”.

Demostrar el teorema

¿Cómo podemos verificar la congruencia con solo una hipotenusa y un ángulo agudo? Es como decir que dos personas son gemelas porque tienen la misma altura y color de cabello. Veamos un par de triángulos.

Aquí está el triángulo ABC :

Ejemplo de triángulo ABC

Ahora viene el triángulo XYZ :

Ejemplo de triángulo XYZ

¿Podrían ser gemelos? Ambos son triángulos rectángulos. Los ángulos B e Y son cada uno de 90 grados. Se nos dice que AC es congruente con XZ . Entonces, esa es una hipotenusa que es congruente con la otra. Y se nos dice que el ángulo A es congruente con el ángulo X . Eso es bueno, pero no es como una prueba de ADN.

¿O es eso? En el triángulo ABC , ¿cuál es la suma de los ángulos interiores? 180. ¿Qué pasa con el triángulo XYZ ? También es 180. Entonces, si dos ángulos son congruentes, como A y X , y otros dos ángulos son congruentes, como B e Y , entonces los otros ángulos, C y Z , también deben ser congruentes.

Por lo tanto, ahora tenemos ángulo A , lado AC y el ángulo C congruente con el ángulo X , lateral XZ y el ángulo Z . Y eso es ángulo-lado-ángulo, o ASA. Eso significa que el teorema HA es realmente solo una simplificación o variación del postulado ASA que funciona con triángulos rectángulos.

Prueba de práctica # 1

Intentemos encontrar algunos gemelos con algunas pruebas. Sabes, no sois gemelos sin pruebas. Aquí hay dos triángulos:

Dos triángulos de ejemplo

Están muy unidos. Juntos, parecen un poco como una cometa, ¿no? Quizás les guste volar cometas juntos. Pero, ¿son realmente buenos amigos o son gemelos?

Se nos da que los ángulos R y S son ángulos rectos. Y también se nos da que el ángulo SQT es congruente con el ángulo RQT . Digamos que queremos determinar si RT es congruente con ST .

Comencemos nuestra prueba recolectando muestras de ADN de cada triángulo. ¿Esperar lo? ¿Los polígonos bidimensionales no tienen ADN? Oh. Entonces supongo que tendremos que hacer una prueba ordinaria. Bien, primero, sabemos que los ángulos R y S son ángulos rectos. Se nos ha dado eso. Eso significa que los triángulos QST y QRT son triángulos rectángulos. Esa es la definición de un triángulo rectángulo.

A continuación, sabemos que el ángulo SQT es congruente con el ángulo RQT . Eso es dado. Y sabemos que QT es congruente con QT debido a la propiedad reflexiva. Ahora podemos decir que el triángulo QST es congruente con QRT debido al teorema HA. Entonces, no son solo amigos de cometas; ¡ellos son gemelos!

Eso nos permite decir que RT es congruente con ST debido a CPCTC, o que las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes. ¡Y hemos terminado!

Prueba de práctica # 2

¿Qué tal uno más? Aquí hay dos triángulos que también están cerca:

Triángulos de ejemplo para la Prueba # 2

¿Qué cerca? Están prácticamente unidos en el vértice. Oh, humor triangular.

De todos modos, se nos da que AC es congruente con CE y que los ángulos B y D son ángulos rectos. Queremos saber si AB es congruente con DE . Primero, necesitaremos determinar si los triángulos son congruentes.

Comencemos indicando que el ángulo B es un ángulo recto. Luego, el ángulo D es un ángulo recto. Bien, entonces ABC y CDE son triángulos rectángulos. Un ángulo recto cada uno y esa es la definición de triángulos rectángulos.

Ahora digamos que AC es congruente con CE . Eso es dado. Entonces, triángulos rectángulos, y sabemos que una hipotenusa es congruente con la otra. Eso no es suficiente, ¿verdad? Pero espera. Podemos decir que el ángulo ACB es congruente con el ángulo DCE . ¿Por qué? Son ángulos verticales y los ángulos verticales son congruentes.

Ahora es el momento de sacar a la luz nuestro teorema HA y afirmar que los triángulos ABD y CDE son congruentes. Entonces, ¡son como gemelos unidos! Ahora podemos terminar nuestra demostración usando CPCTC para afirmar que AB es congruente con DE .

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos una valiosa lección sobre los gemelos. Bueno, quizás no gemelos humanos. Pero sí aprendimos sobre los gemelos triángulos rectángulos. Específicamente, nos enfocamos en el teorema del ángulo de la hipotenusa , o el teorema HA . Este teorema establece que “si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes”. Vimos cómo esto es realmente solo una variación de ASA, o ángulo-lado-ángulo. Luego usamos este teorema en un par de demostraciones para ayudarnos a demostrar la congruencia. ¡Y todo esto sin ninguna prueba de ADN!

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Reafirmar el teorema del ángulo de la hipotenusa (teorema HA)
• Explica cómo el teorema HA es una variación del teorema ángulo-lado-ángulo
• Demuestre el teorema HA usando ejemplos