¿Qué es un producto cruzado?
Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud (tamaño numérico) como dirección. Los vectores son cosas como velocidad, desplazamiento, fuerza, campo eléctrico. Esas cantidades siempre tienen una dirección. Un desplazamiento no es solo de 3 metros, es de 3 metros hacia el oeste. Un escalar en cambio (por ejemplo, temperatura), solo tiene un valor numérico; no tiene dirección.
Cuando multiplicamos dos vectores, el resultado puede ser un vector o un escalar. La fuerza multiplicada por el desplazamiento es igual al trabajo. Y el trabajo es un escalar. Dos vectores multiplicados juntos te dan un escalar. Pero un campo magnético multiplicado por la velocidad (cuando también se multiplica por la carga) es igual a la fuerza. Entonces, en esta ecuación, dos vectores multiplicados juntos te dan un vector.
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Cuando el resultado de multiplicar dos vectores es un escalar, acabamos de completar un producto escalar. Pero si el resultado es un vector, entonces tenemos un producto cruzado. Un producto cruzado es donde se multiplica un vector por el componente del segundo vector que actúa a 90 grados del primer vector.
Entonces, volviendo al ejemplo del magnetismo, la fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético externo es proporcional al producto cruzado entre el vector del campo magnético y el vector de velocidad para la carga. En otras palabras, es proporcional al vector del campo magnético multiplicado por el componente de la velocidad que actúa a 90 grados del vector del campo magnético. Si la velocidad es diagonal, moviéndose a, digamos, 30 grados, tendrá que multiplicar la velocidad por el seno 30 para obtener el componente de la velocidad que actúa a 90 grados del campo magnético. Es por eso que la ecuación para esta fuerza magnética tiene ‘seno’.
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Ecuación para producto cruzado
La ecuación para calcular un producto cruzado es bastante simple. El producto cruzado entre los vectores A y B es igual a la magnitud del vector A multiplicada por la magnitud del vector B multiplicada por el seno del ángulo entre ellos. Entonces, si desea el producto cruzado del campo magnético y la velocidad, como mencioné anteriormente, tomaría la magnitud del campo magnético, lo multiplicaría por la magnitud de la velocidad y lo multiplicaría por el seno del ángulo entre el campo magnético y vectores de velocidad. Eso le dará la magnitud de su respuesta. Pero tu respuesta es, en sí misma, un vector. Entonces, ¿cuál es la dirección de tu respuesta?
Producto cruzado de dos vectores, fórmula y ejemplos
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Para obtener la dirección, debes usar una regla de la mano derecha. Quiero que me des un pulgar hacia arriba con tu mano derecha. Cuando haces eso, tus dedos se curvan en una dirección particular. Si apunta con el pulgar hacia la pantalla y mira el dorso de los dedos, estos se curvan en el sentido de las agujas del reloj, por ejemplo.
Aquí hay un diagrama de los dos vectores que estamos multiplicando:
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Estamos multiplicando el vector A por el vector B . Para averiguar la dirección de su respuesta final, utilice la curvatura de sus dedos para empujar (o viento) vectores Un hacia vector B . Cuando hagas eso, tu pulgar señalará fuera de la página, y esa dirección es la dirección de tu respuesta final.
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Una cosa importante a tener en cuenta aquí es que el orden en el que escribe su producto cruzado no afecta la respuesta numérica, pero sí afecta la dirección. A -cruzado- B le da una dirección fuera de la página. Pero si enrollaste tus dedos en sentido contrario, para B -cruzar- A , habrías tenido una dirección hacia la página. Entonces, a diferencia de la mayoría de las multiplicaciones, donde no importa el orden en que escribas las dos cosas que estás multiplicando, sí lo hace con los productos cruzados.
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Cálculos de ejemplo
Quizás esto sería más fácil con un ejemplo. Digamos que estamos tratando de multiplicar un vector de campo magnético, v , por un vector de velocidad, B . Vector B está apuntando hacia arriba, y el vector v está apuntando en diagonal hacia arriba y hacia la derecha, en un ángulo de 25 grados al vector B . Si la magnitud del vector B es 30 teslas y la magnitud del vector v es 8 metros por segundo, ¿cuál es el producto cruzado de v y B ?
Concepto de estrategia de producto y ejemplos
En primer lugar, anotemos lo que sabemos. B es igual a 30 teslas y v es igual a 8 metros por segundo, y el ángulo entre los vectores, theta, es igual a 25 grados. Entonces, para averiguar la magnitud del producto cruzado, simplemente ingresamos números en la ecuación y resolvemos. 8 multiplicado por 30 multiplicado por el seno 25 nos da un valor de 101,4 metros tesla por segundo.
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Pero ¿qué pasa con la dirección? Bueno, mirando el diagrama, hacer un pulgar hacia arriba, y utilizar sus dedos para encontrar el vector v en el vector B . Si lo hace, su pulgar apunta fuera de la pantalla (o fuera de la página). Entonces, nuestra respuesta final es 101,4 metros tesla por segundo fuera de la página.
Y eso es; hemos terminado.
Resumen de la lección
Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud (tamaño numérico) como dirección. Cuando multiplicamos dos vectores, el resultado puede ser un vector o un escalar. Cuando el resultado de multiplicar dos vectores es un escalar, esa multiplicación es un producto escalar. Pero si el resultado es un vector, entonces la multiplicación es un producto cruzado. Un producto cruzado es donde se multiplica un vector por el componente del segundo vector que actúa a 90 grados del primer vector.
La ecuación para calcular un producto cruzado es bastante simple. El producto cruzado entre los vectores A y B es igual a la magnitud del vector A multiplicada por la magnitud del vector B multiplicada por el seno del ángulo entre ellos. Eso te da la magnitud de tu respuesta. Pero su respuesta es un vector en sí mismo, por lo que también necesita encontrar la dirección de su respuesta.
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Para obtener la dirección, debes usar una regla de la mano derecha. Si comete un pulgar hacia arriba con la mano derecha, puede utilizar sus dedos para empujar (o ‘viento’ o ‘giro’) vectores Un hacia vector B . Cuando hagas eso, tu pulgar apuntará en una dirección particular, y esa es la dirección de tu respuesta final. Para la dirección, A -cross- B no te dará el mismo resultado que B -cross- A , por lo que el orden en que escribas tu multiplicación es importante.
Los resultados del aprendizaje
Después de estudiar esta lección, podrá:
- Definir vector y producto cruzado
- Calcule un producto cruzado usando la ecuación de producto cruzado
- Demuestre cómo obtener la dirección de un producto cruzado
- Recuerde por qué el orden de multiplicación es importante para un producto cruzado
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