Rodrigo Ricardo

Encontrar extremos absolutos: problemas de práctica y descripción general

Publicado el 22 noviembre, 2020

Absolute Extrema: un ejemplo de la vida real

Supongamos que quiere dar un paseo en un transbordador espacial. El transbordador se acerca al espacio. La gravedad de la Tierra comienza a ralentizarla, pero un conjunto adicional de impulsores turbo se activa y te impulsa hacia la galaxia. La velocidad de su lanzadera, en millas por hora, está modelada por la función, v ( t ) = t ^ 3 – 75 t ^ 2 + 1800 t , donde t está en segundos. ¿Puedes determinar los extremos absolutos, o velocidades máxima y mínima, entre 10 y 32 segundos en tu vuelo?

Primero pensemos en qué es lo que estamos buscando. Para encontrar la velocidad máxima, buscamos una velocidad, o un valor de nuestra función v ( t ), que sea mayor que cualquier otra velocidad en este intervalo de tiempo dado. De manera similar, para encontrar la velocidad mínima, buscamos una velocidad que sea menor que cualquier otra velocidad en este intervalo de tiempo dado. En términos matemáticos, buscamos el máximo absoluto y el mínimo absoluto .

Un máximo absoluto de una función en un intervalo se produce en el punto o puntos en los que el valor de la función es mayor o igual que cualquier otro punto del intervalo. De manera similar, el mínimo absoluto de una función en un intervalo ocurre en el punto (s) en el que el valor de la función es menor o igual que cualquier otro punto del intervalo.

Cálculo de extremos absolutos

En el ejemplo del transbordador espacial anterior, tocamos algunos de los pasos para determinar el máximo y el mínimo absolutos. Para encontrar los extremos absolutos de una función, f, en un intervalo cerrado, [a, b], deberá completar los tres cálculos que se describen a continuación.

Paso uno : Encuentre los puntos críticos de f que están en el intervalo [a, b].

Paso dos : inserte el punto crítico que encontró en el paso uno, así como los puntos finales de nuestro intervalo, ayb, en la función.

Paso tres : Elija los valores de x que le dieron el valor de función más grande como el máximo absoluto y el valor o los valores de x que le dieron el valor de función más pequeño como el mínimo absoluto.

Extremo absoluto en un gráfico

¿Cómo se vería este máximo absoluto cuando visualiza la función en un gráfico? ¿Qué tal la cima de una montaña o el punto en el que todos los valores cercanos de la función están debajo de ella? La segunda posibilidad es que el máximo absoluto se produzca en t = 10 o en t = 32, como los puntos finales de nuestro dominio. Si no está seguro acerca de la segunda posibilidad, imagine una función que sea una línea recta hacia arriba. Si elegimos un intervalo y pedimos el máximo absoluto en ese intervalo, ¡tendría que aparecer en uno de los puntos finales! ¡No hay cimas de montañas ya que la función sigue subiendo y subiendo!

Ejemplo gráfico de la cima de una montaña

Ejemplo de cima de montaña

Arriba hay un ejemplo de la cima de una montaña en el punto x = 0.

Puntos críticos en los extremos absolutos

Ahora bien, ¿cómo usamos el cálculo para determinar qué puntos podrían ser las cimas de nuestras montañas? Primero, encontraremos los puntos críticos dentro del intervalo. Un punto crítico es un punto en nuestro dominio en el que la derivada es igual a cero o no existe. Los puntos críticos son los únicos puntos posibles donde puede existir la cima de una montaña. Encontremos la derivada de v ( t ). Vemos que v ‘( t ) = 3 t ^ 2 – 150 t + 1800.

Claramente, la derivada existe para cada punto entre 10 y 32, por lo que no encontramos ningún punto crítico que satisfaga esa condición. Luego tenemos que verificar dónde nuestra derivada es igual a cero. Resolveremos 3 t ^ 2 – 150 t + 1800 = 0. Factorizando el lado izquierdo, obtenemos 3 ( t -30) ( t -20) = 0. Por lo tanto, la derivada es igual a cero cuando t = 20 y t = 30. Entonces, nuestros únicos puntos críticos ocurren cuando t = 20 y t = 30.

Los únicos otros puntos necesarios a considerar son los puntos finales. Por lo tanto, nuestro máximo absoluto debe existir en t = 10, t = 20, t = 30 o t = 32. ¿Cómo decidimos cuál de estos corresponde al máximo absoluto? Dado que el máximo absoluto es el valor más grande de la función en el intervalo, volvamos a conectar cada uno de ellos a nuestra función original y veamos cuál nos da el valor más grande. Vemos v (10) = 11500, v (20) = 14000, v (30) = 13500 y v (32) = 13568. Por lo tanto, el máximo absoluto ocurre en t = 20 con una velocidad máxima absoluta de 14,000 millas por hora. hora.

Si tuviéramos que encontrar el mínimo absoluto, seguimos exactamente los mismos pasos que hicimos para el máximo absoluto, pero en su lugar elegimos el valor más pequeño. Por lo tanto, nuestro mínimo absoluto ocurre en t = 10 con una velocidad mínima absoluta de 11,500 millas por hora.

Otro problema de práctica

Ahora, calculemos los extremos absolutos de la función f ( x ) = ln ( x ) – 4 x en el intervalo [1, e]. Primero, determinaremos los puntos críticos. Para encontrar los puntos críticos, tomamos la derivada y vemos dónde no existe nuestra derivada y dónde es igual a cero.

Observe, f ‘( x ) = 1 / x – 4, por lo que la derivada no existe en x = 0. Sin embargo, x = 0 no está en el dominio de f, por lo que no es un punto crítico. Al establecer la derivada igual a cero, obtenemos 1 / x – 4 = 0, lo que implica x = 1/4.

Sin embargo, 1/4 no está en el intervalo [1, e], por lo que no nos interesa. Por lo tanto, no tenemos puntos críticos en nuestro intervalo. En el paso dos, dado que no tenemos puntos críticos, evaluamos f (1) = -4 y f (e) = 1 – 4e. En el paso tres, vemos que nuestro máximo absoluto ocurre en x = 1 con un valor máximo de -4 y nuestro mínimo absoluto ocurre en x = e con un valor mínimo de 1 – 4e.

Resumen de la lección

Los extremos absolutos se refieren al valor máximo o mínimo de una función. Para calcular la velocidad máxima, buscamos una velocidad, o un valor de nuestra función v ( t ), que sea mayor que cualquier otra velocidad en este intervalo de tiempo dado. Para encontrar la velocidad mínima, buscamos una velocidad que sea menor que cualquier otra velocidad en un intervalo de tiempo dado. En términos matemáticos, buscamos el máximo absoluto y el mínimo absoluto .

Recuerde, solo hay tres pasos para encontrar los extremos absolutos de una función, f, en un intervalo [a, b].

Paso uno : Encuentre los puntos críticos de f que están en el intervalo [a, b].

Paso dos : inserte el punto crítico que encontró en el paso uno, así como los puntos finales de nuestro intervalo, ayb, en la función.

Paso tres : Elija los valores de x que le dieron el valor de función más grande como el máximo absoluto y el valor o los valores de x que le dieron el valor de función más pequeño como el mínimo absoluto.

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