Encontrar la base de un espacio vectorial

Espacio vectorial y base

En matemáticas, a menudo trabajamos con conjuntos o colecciones de expresiones. Por ejemplo, podría tener un conjunto ordenado de números (una secuencia) y tener un problema que le indique que debe encontrar el siguiente número en la secuencia. Otro ejemplo común es trabajar con un conjunto de ecuaciones para resolver las variables en ellas.

En álgebra lineal, es posible que se encuentre trabajando con un conjunto de vectores. Cuando las operaciones de multiplicación escalar y suma de vectores son válidas para un conjunto de vectores, lo llamamos espacio vectorial . Al trabajar con un espacio vectorial, una cosa que podría querer hacer es identificar los vectores que forman una base para él. La base de un espacio vectorial es un subconjunto de vectores dentro del espacio que son linealmente independientes y abarcan el espacio.

Una base es linealmente independiente porque los vectores que contiene no se pueden definir como una combinación lineal de ninguno de los otros vectores de la base. Al abarcar el espacio vectorial, queremos decir que los vectores en ese espacio se pueden definir como una combinación lineal de los vectores en la base.

Forma escalonada de fila reducida

Antes de continuar con los vectores, necesitamos hacer una revisión rápida de las operaciones matriciales. El paso más esencial para encontrar la base de un espacio vectorial en realidad involucra una matriz. Más específicamente, deberá poder poner una matriz en forma escalonada de fila reducida, que cumpla con las siguientes cuatro condiciones:

1. Todas las filas distintas de cero están encima de las filas que contienen solo ceros.
2. La primera entrada distinta de cero de una fila está a la derecha de la primera entrada distinta de cero de la fila superior.
3. Todos los elementos de la misma columna que el primer elemento distinto de cero de una fila son ceros.
4. La primera entrada distinta de cero de cada fila es uno.

Para obtener una matriz en forma escalonada de filas reducida, hay tres operaciones diferentes que se pueden realizar en las filas de una matriz.

1. Puede intercambiar dos filas cualesquiera dentro de una matriz.
2. Una fila de la matriz se puede multiplicar por una constante.
3. Una fila puede tener un múltiplo de otra fila agregada.

El proceso de usar estas tres operaciones para obtener una matriz en forma escalonada reducida se llama reducción de filas.

Encontrar la base

Ahora tenemos todo lo que necesitamos para encontrar la base de un espacio vectorial. Trabajemos en un problema de ejemplo. Tenga en cuenta que los espacios vectoriales pueden tener múltiples bases, y aquí encontraremos una posible base para el siguiente espacio vectorial.

Para encontrar una base para este espacio vectorial, comenzamos poniendo estos vectores en las columnas de una matriz.

Una vez hecho esto, usamos las operaciones de reducción de filas que acabamos de pasar para poner la matriz en forma escalonada de filas reducida. Este será el paso matemáticamente más intensivo para encontrar la base de un espacio vectorial.

En este punto, casi ha terminado. Solo necesitamos hacer una pequeña comparación de nuestra matriz escalonada de filas reducida con la matriz original con la que comenzamos.

Primero, identifique cada columna que tenga un encabezado para una fila. Luego compare estas columnas en la matriz escalonada de filas reducida con sus columnas correspondientes en la matriz original. Finalmente, los vectores que componen las columnas de esa matriz original serán una base para su espacio vectorial.

Aquí puede ver cómo comparamos las dos matrices para determinar la base de nuestro espacio vectorial.

Resumen de la lección

Un espacio vectorial es un conjunto o colección de vectores bajo los cuales la multiplicación escalar y la suma de vectores son válidas. Cuando se trabaja con un espacio vectorial, puede ser útil encontrar una base para él: una base es un subconjunto de vectores dentro de ese espacio que son linealmente independientes (no se pueden ver como una combinación lineal entre sí) y que se extienden (los vectores en ese espacio vectorial puede verse como una combinación lineal de los vectores en la base).

Para encontrar la base de un espacio vectorial, comience tomando los vectores que contiene y convirtiéndolos en columnas de una matriz. Luego usamos la reducción de filas para obtener esta matriz en forma escalonada de filas reducida, para lo cual se deben cumplir las siguientes cuatro condiciones:

1. Todas las filas distintas de cero están encima de las filas de la matriz que solo contienen ceros.
2. La entrada inicial distinta de cero de cada fila está a la derecha de la entrada inicial distinta de cero de la fila superior.
3. Los demás elementos de la misma columna que cualquier entrada inicial distinta de cero para una fila deben ser todos ceros.
4. La entrada inicial distinta de cero de una fila debe ser uno.

Luego, haga coincidir las columnas de la matriz escalonada de filas reducida que contienen elementos de fila iniciales distintos de cero con sus columnas correspondientes en la matriz original. El conjunto de vectores que componen estas columnas en la matriz original es una base para el espacio vectorial.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador