Curvas de parábola
¿Recuerdas la última vez que jugaste con bloques? ¡Gran diversión! Con bloques con letras, puedes construir palabras. Es sorprendente que exista tanta variedad con solo 26 letras. Además, las formas de las letras en sí mismas son inspiradoras. Por ejemplo, una parábola tiene la forma de la letra U.
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En esta lección, aprenderá a construir varias ecuaciones para la parábola dada solo la información contenida en el enfoque y la directriz. Esas son palabras que probablemente no vimos con nuestros bloques.
Empiece por dibujar una línea en un gráfico. En este ejemplo, la línea pasa por y = -3 y es paralela al eje x . Esta línea se llama directriz . Localiza un punto. En este ejemplo, el punto está en (3,1). Este punto se llama foco .
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La idea es usar solo esta información para trazar una parábola y encontrar ecuaciones que definan la parábola. La parábola correspondiente a esta directriz y foco se ve así:
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La distancia desde el foco a un punto en la curva de la parábola es la misma que la distancia más corta desde este punto en la curva de la parábola a la línea directriz. Entonces, los puntos en la curva de la parábola son equidistantes (igual distancia) al foco y a la directriz. Encontrar todos los puntos equidistantes es una forma de trazar la parábola. Las líneas azules en la imagen de abajo muestran la misma longitud.
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El punto de inflexión de la parábola es el vértice . En este ejemplo, el vértice está en (3, -1), que observamos que está a medio camino entre el foco y la directriz. Muchas palabras para construir con nuestros bloques.
En lugar de construir palabras, esto es construir ecuaciones. Digamos que el foco está aquí: ( x o , y o ). El punto de la recta es ( x , y ). La ubicación en la directriz estará en ( x , α). Mantengamos las cosas generales a propósito. Además de las variables x e y, las ecuaciones tendrán sus tres números x o , y o y α.
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Ecuación de parábola en forma estándar
La ecuación de la parábola en forma estándar para encontrar la longitud entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado en cada coordenada. Para este caso, la longitud del segmento de línea entre el foco en ( x o , y o ) y el punto de la curva ( x , y ) es la raíz cuadrada de ( x o – x ) ^ 2 + ( y o – y ) ^ 2. La longitud del segmento de línea entre el punto de la curva ( x , y ) y el punto de la directriz ( x , α) es la raíz cuadrada de ( x –x ) ^ 2 + ( y – α) ^ 2. Las longitudes son iguales para que puedas igualar las dos raíces cuadradas. Luego, eleva ambos lados al cuadrado, expande y aísla la y en el lado izquierdo de la ecuación.
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El lado derecho depende de x o , y o y α. Esta ecuación tiene la misma forma que y = a x ^ 2 + b x + c. Esta es la ecuación en forma estándar de la parábola. ¿Ves cómo encontrar ‘a’, ‘b’ y ‘c’?
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Nuestra parábola de ejemplo en forma estándar es y = .125 x ^ 2 – .75 x + .125.
Ecuación de parábola en forma de intersección
A veces desea saber dónde la parábola intercepta el eje x . Para obtener una ecuación con esta información de intersección, use la ecuación en forma estándar con ‘a’, ‘b’ y ‘c’. Luego, factoriza la ‘a’ para obtener y = a ( x ^ 2 + b x / a + c / a). A continuación, utilice la ecuación cuadrática para encontrar las dos raíces de p y q . La ecuación se ve así y = a ( x – p) ( x – q). ¡Ahora tienes una ecuación que te da directamente la información de intersección! La ‘p’ y la ‘q’ son las intersecciones x . Estos son los lugares donde la curva de la parábola cruza la x-eje. La ecuación de parábola de ejemplo en forma de intersección es y = .125 ( x – 5.83) ( x – .172).
Ecuación de parábola en forma de vértice
A veces querrás saber dónde tiene la parábola su vértice. Para obtener una ecuación que ya tenga esta información de vértice, tome la ecuación en forma estándar y complete el cuadrado. El resultado es y = a ( x – h) ^ 2 + k. Ahora tienes una ecuación en términos del vértice. El ‘h’ y ‘k’ son la x y Y coordenadas del vértice. Esta es la ecuación parabólica en forma de vértice . De nuestro ejemplo, la ubicación del vértice está en (3, -1), lo que nos dice ‘h’ = 3 y ‘k’ = -1.
Por lo tanto, la ecuación parabólica en forma de vértice para este ejemplo es y = .125 ( x – 3) ^ 2 -1.
Algunos comentarios
¿Qué sucede si no hay intersecciones x ? ¿Cómo pudo pasar esto? Es posible que la curva de la parábola no cruce el eje x . Al intentar calcular los p y q valores de la forma de intersección, se le intenta sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Esto nos dice que no existen intersecciones en el eje x .
Si la parábola es cóncava hacia abajo, entonces ‘a’ será negativa. Si la parábola está de lado con su apertura hacia la derecha o hacia la izquierda, obtenga las expresiones intercambiando x e y . Construir sobre la base de nuestro conocimiento de la parábola es muy parecido a construir con bloques. Las posibilidades son vastas.
Resumen de la lección
La directriz y el foco proporcionan suficiente información para escribir una ecuación para una parábola . Cualquier punto de la parábola es equidistante al foco y la directriz. La equiparación de estas distancias conduce a la ecuación de la parábola en forma estándar .
Existen otras formas convenientes para la ecuación estándar según la información que necesite. Por ejemplo, resolver las raíces de la ecuación estándar da la ecuación de la parábola en forma de intersección . Completar el cuadrado en la ecuación estándar nos da la ecuación de parábola en forma de vértice .
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