Encontrar la línea normal a una curva: definición y ecuación

Línea normal a una curva definida

La línea normal a una curva es la línea que es perpendicular a la tangente de la curva en un punto particular. Por ejemplo, para la curva y = x ², para dibujar la línea normal a la curva en el punto (1, 1), primero dibujaríamos la línea tangente a la curva en ese punto. Luego dibujaríamos una línea perpendicular a esa línea. Se vería así.

La línea roja en el gráfico es la línea normal a la curva y = x ² en el punto (1, 1). Dependiendo de dónde se encuentre en la curva, la línea normal será diferente ya que la línea tangente es diferente. Ahora que sabemos cuál es la línea normal a una curva, veamos cuál es el proceso matemático para encontrarla.

El problema

Veamos un problema para mostrarle el proceso de la curva y = x ² + 3 x en el punto donde x = -3. Antes de comenzar, debemos preguntarnos, ¿qué bits de información necesitamos para encontrar la línea normal? Necesitamos conocer el punto y la pendiente de la recta normal. Entonces, cuando encontremos estos bits de información, debemos asegurarnos de marcarlos y recordarlos.

El problema menciona el punto donde x = -3. ¿A qué equivale y en ese punto? Podemos averiguarlo conectando x en la curva y resolviendo para y .

Obtenemos y = 0 en ese punto, entonces nuestro punto es (-3, 0). Bueno. Tenemos un poco de información que necesitamos. Ahora, necesitamos encontrar nuestra línea tangente. Para hacer esto, recuerde que la tangente es cuánto cambia la curva en ese punto o la derivada de la curva.

Tomando la derivada

Ahora, necesitamos tomar la derivada para encontrar nuestra tangente. Recuerda que para trazar la línea normal, primero tuvimos que trazar la línea tangente. Es lo mismo cuando se trabaja el problema matemáticamente. Entonces, tomemos la derivada de la curva para ver qué obtenemos.

Necesitamos seguir las reglas de las derivadas para obtener nuestra derivada. Esta ecuación nos permite encontrar la pendiente en cualquier punto del gráfico. Nuestro punto es (-3, 0), por lo que sustituiremos x = -3 a nuestra derivada para encontrar nuestra pendiente y ‘ en ese punto. Esta pendiente es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Dado que nuestra recta normal es perpendicular a nuestra recta tangente, la pendiente de la recta normal será el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente. Nuestra recta tangente tiene una pendiente de -3, por lo que la pendiente de nuestra recta normal es entonces 1/3. Esta es la otra información que necesitamos. Ahora, podemos buscar la ecuación para la línea normal de la curva en nuestro punto.

Encontrar la línea normal

Tenemos una pendiente y un punto, por lo que podemos usar nuestra forma punto-pendiente de una línea para encontrar nuestra ecuación. Sustituyamos nuestra pendiente de la recta normal, 1/3, y nuestro punto, (-3, 0), y despejemos para y .

Resumen de la lección

Revisemos. La línea normal a una curva es la línea que es perpendicular a la tangente de la curva en un punto particular. Por ejemplo, para dibujar la línea normal a la curva en el punto, primero dibujaríamos la línea tangente a la curva en ese punto. Luego dibujaríamos una línea perpendicular a esa línea. Para encontrar la recta normal, necesitamos conocer su punto y pendiente. Una vez que conocemos esos bits de información, podemos usar nuestra forma de línea de punto-pendiente para encontrar nuestra ecuación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador