Encontrar mínimos y máximos: problemas y explicación

¿Qué son mínimos y máximos?

Cuando grafica una función, el valor mínimo de esa función se puede encontrar en su punto más bajo en la gráfica. Es el vértice de un gráfico que se abre hacia arriba. El valor máximo de una función graficada se puede encontrar en su punto más alto en el gráfico, o en el vértice si el gráfico se abre hacia abajo. Por ejemplo, en la siguiente imagen, el valor mínimo de la función de la izquierda es y = -5, mientras que el valor máximo de la función de la derecha es y = 5.

Sin embargo, no es necesario mirar la gráfica de una función para determinar si tiene un valor máximo o mínimo; esa información se puede determinar con solo mirar la ecuación de una función. Las ecuaciones para funciones cuadráticas tienen la forma general ax ^ 2 + bx + c . Si el término x ^ 2 es positivo, la ecuación tendrá un mínimo. Si el término x ^ 2 es negativo, la ecuación tendrá un máximo. ¿Tienen estas funciones máximos o mínimos? 1.) 5 x ^ 2 + 3 x – 1 Como el término x ^ 2 es positivo (5x ^ 2), esta función tiene un mínimo. 2.) 6 x – 2 x ^ 2 -2 x ^ 2 significa que esta función tiene un máximo. 3.) 7-2 x + x ^ 2 La función tiene un mínimo debido a x ^ 2. 4.) -2 x ^ 2 + 3 x + 1 Esta función tiene un máximo porque el término x ^ 2 (-2 x ^ 2) es negativo. Los máximos y mínimos tienen aplicaciones prácticas en los campos de la ingeniería, las finanzas, la fabricación y muchas otras áreas.

Determinación de valores máximos / mínimos

Hay tres métodos para determinar los valores máximo o mínimo de una ecuación cuadrática. Puedes graficar la ecuación o puedes usar una de las dos formas de ecuación para encontrar los valores.

Usa el gráfico

Puedes encontrar máximos o mínimos visualmente al graficar una ecuación. El Y -valor del vértice de la gráfica será su mínimo o máximo. Esto es especialmente fácil cuando tiene una calculadora gráfica que puede hacer la mayor parte del trabajo por usted. Nuevamente, usando el gráfico anterior, puede ver que el punto mínimo del gráfico con un mínimo está en y = -5. La gráfica con un punto máximo tiene ese punto en y = 5.

Utilice la forma de ecuación y = ax ^ 2 + bx + c

Como se discutió anteriormente, si su ecuación tiene la forma y = ax ^ 2 + bx + c , el mínimo o máximo depende del signo asociado con el término x ^ 2. Luego puede encontrar el mínimo o máximo usando la ecuación: mínimo o máximo = c – b ^ 2/4 a El primer paso es determinar si su ecuación da un máximo o un mínimo. Esto se puede hacer mirando el término x ^ 2. Si este término es positivo, el punto de vértice será mínimo; si es negativo, el vértice será un máximo. Una vez que se determina esto, puede usar la segunda ecuación para encontrar el punto exacto de los mínimos o máximos. Ejemplo: ¿La función (2 x ^ 2 + 5 x – 3) tiene un mínimo o un máximo? ¿Qué es? Dado que el término con x ^ 2, o un término, es positivo, sabes que habrá un punto mínimo. Para encontrarlo, inserte los valores en la ecuación proporcionada: min = c – b ^ 2/4 un min = -3 – 5 ^ 2/4 * (2 ) min = -3 – 25/8 min = -3 – (3.125) min = -6,125

Utilice la forma de ecuación y = a ( x – h ) ^ 2 + k

Al igual que con la última ecuación, si el un término en esta ecuación es positivo, hay un mínimo. Si es negativo, hay un máximo. De cualquier manera, el punto mínimo o máximo se puede encontrar en k . No se necesitan ecuaciones ni cálculos; la respuesta es el valor de k . Ejemplo: ¿Esta función tiene un máximo o un mínimo? -3 ( x + 1) ^ 2 + 12 Dado que el un término es negativo, habrá un máximo en y = 12.

Ejemplos del mundo real

1.) La cantidad de bacterias en un alimento refrigerado viene dada por la ecuación y = -0.5 x ^ 2 + 25 x + 800, donde y = la cantidad de bacterias yx = tiempo. ¿Esta ecuación dará un número máximo o mínimo de bacterias, y cuál será? Debido a que el de un término es negativo, sabemos que habrá un máximo para esta ecuación. Para encontrar ese máximo, podemos usar la ecuación: max = c – b ^ 2/4 a max = 800 – (25 ^ 2) / (4 * (- 0.5)) max = 800 – 625 / -2 max = 800 + 312.5 max = 1112 bacterias Y esa será la cantidad máxima de bacterias presentes. 2.) Un fabricante de pelotas de tenis tiene un costo diario de y = x + 0.02 x ^ 2 + 100. ¿Tiene esta función un mínimo o un máximo, y cuál es? Debido a que el de un término es positivo, habrá un mínimo. Usando la ecuación min = c – b ^ 2/4 a , podemos encontrar el costo mínimo. min = 100 – (1 ^ 2) / (4 * 0.02) min = 100 – 1 / (0.08) min = 100 – 12.5 min = $ 87.50

Resumen de la lección

Revisemos. Puede determinar si una función cuadrática tiene un máximo o un mínimo observando la gráfica de la función o la ecuación. Al mirar la ecuación, prestar atención a la de un plazo. Si es positivo, la función tendrá un mínimo . Si es negativo, la función tendrá un máximo .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador