Entender la concavidad y los puntos de inflexión con diferenciación

Revisión de la concavidad

Repasemos la concavidad por un minuto. La concavidad de una función es cómo cambia su derivada, por lo que realmente está mirando la segunda derivada de una función. Una función que es cóncava hacia arriba parece una ‘taza’ y una función que es cóncava hacia abajo parece un ‘ceño fruncido’. Si miramos una función cóncava hacia arriba, su derivada puede ser negativa o puede ser positiva, pero siempre va hacia arriba. Entonces, la segunda derivada siempre será positiva. Algo que es cóncavo hacia abajo tiene una primera derivada que puede ser positiva o negativa, pero siempre es decreciente. Entonces, la segunda derivada de un cóncavo hacia abajo será negativa.

En el ejemplo # 1, la función original es cóncava hacia arriba porque la segunda derivada es siempre positiva

Si tiene algo que es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, el punto donde se encuentran se llama punto de inflexión . En ese punto, la segunda derivada es igual a cero. Aquí, tengo cóncavo hacia arriba, mi taza de cara sonriente, y tengo cóncavo hacia abajo, mi ceño fruncido. De hecho, tengo un mínimo y un máximo en este gráfico, y tengo un punto de inflexión donde se encuentran las partes cóncavas hacia arriba y hacia abajo. Si grafica la primera derivada, veo que es cero en el mínimo y el máximo, y que la segunda derivada será cero en el punto de inflexión donde vamos entre una taza y un ceño fruncido.

Primer ejemplo de concavidad

Entonces hagamos un ejemplo. ¿Es y = x ^ 2 – 1 cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo? Es posible que pueda graficar esto en la parte superior de su cabeza y, si puede, sabrá que es cóncavo. Es una parábola que parece una taza. Pero, ¿cómo puedo demostrar eso matemáticamente? Bueno, ¿la segunda derivada es positiva o negativa, o son ambas? Tomemos la primera derivada. Voy a tomar la derivada de esto con respecto ax , que es solo y `= 2 x . A veces, cuando x es menor que cero, la primera derivada será negativa, y a veces será positiva, cuando x es mayor que cero. Tomemos la segunda derivada, la derivada de y `. Entoncesy ” es igual a la derivada de 2 x , que es solo 2. Entonces, la segunda derivada es siempre positiva, siempre mayor que cero en todas partes. En todas partes y = x ^ 2 – 1, nuestra función original, es cóncava hacia arriba porque la segunda derivada es siempre mayor que cero.

Segundo ejemplo de concavidad

Para la función en el ejemplo # 2, hay un punto de inflexión en x = 1

¿Qué pasa con una función más compleja como y = ( x -1) ^ 3-4 x +5? Podría graficar esto, pero averigüemos formalmente si es cóncavo hacia arriba, cóncavo hacia abajo o ambos. Tomemos la primera derivada. Así que voy a diferenciar el lado derecho con respecto axy , tengo que usar la regla de la cadena aquí, obtengo y `= 3 ( x -1) ^ 2 – 4. Muy bien, diferenciemos nuevamente: y “ = 6 ( x -1). Eso es positivo y negativo. Si xes realmente pequeño, menos de 1, esto se volverá negativo. Para valores más grandes, será positivo. Entonces sé de inmediato que, dado que la segunda derivada puede ser tanto positiva como negativa, este gráfico tendrá regiones donde tengo una taza y regiones donde tengo el ceño fruncido; va a tener ambos. Encontremos los puntos de inflexión estableciendo esto igual a cero: 0 = 6 ( x -1). Eso se resuelve cuando x = 1, entonces en x = 1 hay un punto de inflexión. En x = 1, paso de un ceño fruncido o una taza al otro; Estoy cambiando entre los dos.

¿Tengo una taza en el lado izquierdo o una taza en el lado derecho? Dibujemos una recta numérica y averigüémoslo. Así que voy a poner x = 1 justo en el medio de mi recta numérica, y lo voy a marcar como mi punto de inflexión. Voy a elegir un valor en el lado izquierdo, algo menor que 1. El cero suele ser un número fácil, así que escojamos ese punto. Y voy a elegir algo en el lado derecho de 1. Vayamos con 2; No quiero que sea demasiado grande. Voy a ver si la segunda derivada es mayor que cero en 0, o es mayor que cero en 2. Quizás no sea mayor que cero en ninguno de los dos. En x = 0, mi segunda derivada será y ” = 6 (0-1) o -6. Eso es menos de cero. Entonces, para valores de xque son menores que 1, tengo una segunda derivada que es menor que cero, lo que me va a hacer fruncir el ceño: esta región cóncava hacia abajo de aquí. ¿Qué pasa en x = 2? En x = 2, mi segunda derivada es y ” = 6 (2-1), o 6. Eso es definitivamente mayor que cero. Entonces, en el lado derecho, debido a que mi segunda derivada es mayor que cero, tengo cóncavo en esta región. Tengo una función que es cóncava hacia abajo para x menor que 1, y cóncava hacia arriba para x mayor que 1. En x = 1, tenemos un punto de inflexión.

Tercer ejemplo de concavidad

Gráfico y recta numérica para el tercer ejemplo

Hagamos un ejemplo aún más difícil. Digamos y = (1/2) x ^ 4 – ( x +1) ^ 3 – 3 x ^ 2. Ahora necesitaba ayuda para graficar esto, así que usé una calculadora. Entonces, ¿dónde están los puntos de inflexión en este gráfico? Bueno, encontremos la primera derivada. Si diferencio esto con respecto a x , obtengo y `= 2 x ^ 3 – 3 ( x +1) ^ 2 – 6 x . Muy bien, esa es la primera derivada; ¿qué pasa con la segunda derivada? Voy a diferenciar la primera derivada con respecto a x y obtengo y ” = 6 x ^ 2-6 ( x+1) – 6. Si quiero encontrar los puntos de inflexión, lo primero que necesito saber es dónde es igual a cero. Así que voy a factorizar esto y resolver para cero: 0 = 6 x ^ 2 – 6 ( x +1) – 6. Puedo expandir esto y factorizarlo para que el lado derecho se convierta en 6 ( x -2) ( x +1). Bueno, y ” = 0 en x = 2 o x = -1. ¿Son estos puntos de inflexión? Dibujemos una recta numérica y averigüémoslo.

Aquí está mi recta numérica, y voy a marcar x = -1 y x = 2, los dos puntos donde la segunda derivada es igual a cero. ¿Qué sucede con la segunda derivada en -2? En -2, y ” = 6 (-2-2) (- 2 + 1), termino con y ” = 6 (-4) (- 1) = 24, entonces todo va a ser positivo. Entonces y ” es mayor que cero para valores de x menores que -1, y y ” mayor que cero me da una taza. En esta región intermedia, entre x = -1 y x = 2, escojamos un valor de cero. ¿Qué es y ” cuando x = 0? y “ = 6 (0-2) (0 + 1), y tengo 6 (-2) (1) = – 12. Bueno y“ Definitivamente es menor que cero, porque -12 es menor que cero, entonces para esta región aquí tengo un cóncavo hacia abajo, un ceño fruncido. ¿Qué pasa cuando x es mayor que 2, digamos que x = 3? Cuando x = 3, y ” = 6 (3-2) (3 + 1), y tengo 6 (1) (4) = 24. Eso es mayor que cero, así que aquí, y ” es mayor que cero y tengo otra taza. Estos son realmente puntos de inflexión porque voy entre una taza, un ceño fruncido y una taza. Puede que estés pensando que cada vez que tenemos un punto de inflexión vamos entre una taza y un ceño fruncido. Eso es cierto, y encontramos estos puntos de inflexión donde y “ = 0. Pero, ¿hay algún caso en el que y “ = 0 y no tengamos un punto de inflexión?

Cuarto ejemplo de concavidad

Gráfico y recta numérica para el ejemplo final

Veamos y = x ^ 4. Puedo tomar la primera derivada y obtengo y `= 4 x ^ 3. La segunda derivada es y ” = 12x ^ 2. Definitivamente es igual a cero cuando x = 0, porque 12 (0) = 0. Entonces y ”, cuando x = 0, es cero, y podría pensar que este es un punto de inflexión. Dibujemos nuestra recta numérica. Aquí tengo 0, donde y “ = 0, y veamos valores menores que cero, digamos x = -1. Bueno, en x = -1, y “ = 12 (-1) ^ 2 = 12, lo que significa que para valores de xque son menos de cero, tengo una región cóncava, una taza. Para valores de x que son mayores que cero, digamos 1, tengo y ” = 12 (1) ^ 2 = 12, que también es mayor que cero. Entonces, cuando x es mayor que cero, también tengo una región cóncava. x = 0 es un punto muy especial en que la segunda derivada es igual a cero, pero tengo algo que es cóncavo en ambos lados, por lo que no es un punto de inflexión.

Resumen de la lección

Revisemos. La concavidad es cómo cambia la derivada de una función. Algo cóncavo hacia arriba parece una taza y algo cóncavo hacia abajo parece un ceño fruncido. Algo que es cóncavo hacia arriba tiene una primera derivada que aumenta, por lo que la segunda derivada es mayor que cero. Algo que es cóncavo hacia abajo tiene una derivada que es decreciente, por lo que la segunda derivada es menor que cero. Un punto de inflexión es donde la segunda derivada pasa de positivo a negativo. Este es el punto donde y “ = 0, pero no todos los puntos donde y “ = 0 es un punto de inflexión. Tendrás que dibujar una recta numérica para saber si en realidad es un punto de inflexión.