Funciones racionales
En esta lección en video, hablamos sobre funciones racionales . Recuerda que estas son funciones en las que tienes un polinomio tanto en el numerador como en el denominador. Los polinomios son nuestras funciones que se componen de términos con variables y números. Estos términos se suman o se restan. Un polinomio puede tener tantos términos como quiera.
El grado del polinomio es el número del exponente más alto que tiene. Si el exponente más alto es 3, entonces el grado del polinomio es 3. Una forma fácil de pensar en funciones racionales es mediante un problema de división. Tenemos un polinomio dividido por otro.
Lo bueno de las funciones racionales es que puedes decir fácilmente dónde están las asíntotas verticales y horizontales. Debido a que podemos decir fácilmente dónde están, podemos escribir una función racional con la misma facilidad si se nos dan las asíntotas verticales y horizontales.
Vamos a ver.
Asíntotas verticales
Nuestras asíntotas verticales son las líneas verticales a las que se acerca nuestra función. Estos se definen como los puntos donde nuestro denominador es 0. Entonces, todos los puntos donde el polinomio inferior es igual a 0 están donde están nuestras asíntotas verticales.
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Para encontrarlos, podemos resolver nuestro polinomio inferior poniéndolo igual a 0. Podemos factorizar el polinomio a nuestros ceros, o usar otras formas que hemos aprendido para resolverlo. Yendo a la inversa, si nos dan una asíntota vertical, simplemente podemos escribirla como un factor de nuestro polinomio inferior.
Por ejemplo, si x = 1 es una asíntota vertical, entonces simplemente podemos incluir el factor ( x – 1) en el denominador. Cuando x = 1, el denominador será igual a 0 y nos dará una asíntota vertical. La regla aquí es que si x = k es una asíntota vertical, entonces la función racional tendrá el factor ( x – k ) en el denominador.
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales son las líneas horizontales a las que se aproxima nuestra función. Funcionan de manera un poco diferente a las asíntotas verticales. Tendremos una asíntota horizontal si el grado del polinomio del numerador es el mismo que el grado del polinomio del denominador.
La asíntota horizontal es y = 0 si el grado del polinomio denominador es mayor que el polinomio numerador. Si los grados son iguales, entonces nuestra asíntota horizontal es la fracción de los coeficientes principales del numerador y denominador.
Por ejemplo, si nuestra función racional es (3 x – 2) / (4 x + 1), entonces nuestra asíntota horizontal es y = 3/4. O, si nuestra función racional es 8 x / (7 x ^ 2 – 2), entonces nuestra asíntota horizontal es y = 0 ya que el grado del polinomio del denominador tiene un grado mayor que el del denominador del numerador.
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Yendo en sentido contrario, si nos dicen que tenemos una asíntota horizontal de y = 7/8, entonces sabemos que los coeficientes principales son 7 en el numerador y 8 en el denominador. El grado tanto del numerador como del denominador será el mismo. Si y = 0 es la asíntota horizontal, entonces solo necesitamos asegurarnos de que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador.
Poniendolo todo junto
Ahora, pongámoslo todo junto.
Escribe una función racional que tenga asíntotas verticales de x = 3 y x = 5 y una asíntota horizontal de y = 2.
Para este problema, primero tratamos con las asíntotas verticales. Tenemos dos de ellos, por lo que tendremos dos factores en el denominador. Para la asíntota vertical x = 3, tenemos un factor de ( x – 3) y para la asíntota vertical x = 5, tenemos un factor de ( x – 5). Nuestra función racional ahora luce como 1 / ( x – 3) ( x – 5). Escribí un 1 en el numerador solo como marcador de posición.
Ahora, antes de pasar a la asíntota horizontal, multipliquemos nuestros factores en el denominador. Obtenemos 1 / ( x ^ 2 – 8 x + 15). Tenemos un 1 como coeficiente principal en el denominador. Nuestra asíntota horizontal es y = 2, entonces, ¿cuál es el coeficiente principal en el numerador que necesitamos para que y = c / 1 = 2? Escribí c para nuestro coeficiente principal en el numerador que estamos buscando. ¿Qué necesita ser c ?
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Resolviendo para c , obtenemos c = 2. Como tenemos una asíntota horizontal distinta de cero, también sabemos que los grados son los mismos tanto para el numerador como para el denominador. Entonces, nuestra función racional final es 2 x ^ 2 / ( x ^ 2 – 8 x + 15).
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido.
Las funciones racionales son funciones en las que tienes un polinomio tanto en el numerador como en el denominador. Podemos escribir estas funciones si se nos dan las asíntotas vertical y horizontal. Para las asíntotas verticales, seguimos la regla: si x = k es una asíntota vertical, entonces la función racional tendrá el factor ( x – k ) en el denominador.
Para las asíntotas horizontales, si nuestra asíntota es distinta de cero, entonces nuestros coeficientes principales nos darán la asíntota horizontal y los grados del numerador y denominador serán los mismos. Si nuestra asíntota es 0, entonces el grado del numerador será menor que el grado del denominador.
Al escribir nuestra función racional, primero escribimos las asíntotas verticales, las multiplicamos y luego encontramos un coeficiente principal para el numerador que nos dará la asíntota horizontal. Nos aseguramos de que los grados del numerador y el denominador coincidan con la asíntota horizontal.
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya terminado con esta lección, debería poder:
- Identificar las asíntotas verticales y horizontales de una función racional.
- Escribe una función racional basada en asíntotas verticales u horizontales
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