Factorizar la suma de cubos: fórmula y ejemplos

Introducción

Probablemente se haya encontrado anteriormente con problemas de factorización en los que una expresión tenía dos términos, como x ^ 2 – 4 o 25x ^ 4 – 16.

Si ambos términos fueran cuadrados y tuvieran signos opuestos (es decir, un término fue positivo y un término negativo), entonces podrías factorizarlo como una diferencia de cuadrados usando la fórmula de diferencia de cuadrados a ^ 2 – b ^ 2 = (a + b ) (a – b).

Pero, ¿qué debe hacer cuando se encuentra con una expresión de dos términos en la que cada uno de los términos tiene el mismo signo? ¿O si los términos no son cuadrados, sino cubos?

Si ambos términos son cubos, entonces puede ser posible factorizar la expresión como una diferencia de cubos o una suma de cubos, dependiendo de los signos de los términos. Una expresión con signos opuestos (por ejemplo, x ^ 3 – 8) podría ser una diferencia de cubos, que se trata en una lección separada. Una expresión en la que ambos términos tienen el mismo signo (por ejemplo, y ^ 3 + 1), ya sea positivo o negativo, se puede factorizar como una suma de cubos, que es el tema central de esta lección.

Una suma de cubos es una expresión de dos términos donde ambos términos son cubos y cada término tiene el mismo signo. Se factoriza de acuerdo con la siguiente fórmula.

A continuación, veremos cómo puede determinar si una expresión se puede factorizar como una suma de cubos.

¿Es una expresión una suma de cubos?

Una expresión debe cumplir dos criterios para poder factorizarse como una suma de cubos. Primero, cada término debe ser un cubo . En otras palabras, cada término debe ser el resultado de multiplicar la misma expresión por sí misma tres veces. A continuación se muestran algunos ejemplos:

• x ^ 3 es un cubo porque es el resultado de x multiplicado por sí mismo tres veces (x * x * x).
• 27 es un cubo porque es el resultado de 3 multiplicado por sí mismo tres veces (3 * 3 * 3).

Además, puede encontrar un cubo que contenga números y variables. Por ejemplo, 64z ^ 9 es un cubo porque hay una expresión (4z ^ 3) que, cuando se multiplica por sí misma tres veces (4z ^ 3) (4z ^ 3) (4z ^ 3), será igual a 64z ^ 9. Es importante notar que cada parte de cada término debe ser un cubo; 7x ^ 6 y 8y ^ 2 no son cubos porque 7 no es un cubo (aunque x ^ 6 lo es) e y ^ 2 no es un cubo (aunque 8 lo es).

En segundo lugar, cada término debe tener el mismo signo, generalmente ambos positivos. Tenga en cuenta que si ambos signos son negativos, puede factorizar un -1 de ambos términos para que cada uno sea positivo. Si ambos términos tienen signos opuestos, puede intentar factorizar la expresión como una diferencia de cuadrados o una diferencia de cubos. Ahora veamos cómo se usa la fórmula de suma de cubos para factorizar un problema.

Cómo factorizar una suma de cubos

Para una suma de cubos, usará la fórmula mencionada anteriormente:

Tenga en cuenta que ayb representan las expresiones individuales que están al cubo. Cada uno podría ser una variable (x), un número (3) o una combinación de ambos (4y ^ 2). Primero, debes determinar qué son ayb. Esencialmente estás preguntando, ¿qué cubo para obtener el primer término y qué cubo para hacer el segundo término? Después de haber hecho eso, conectará las expresiones que encontró para ayb en la fórmula y las simplificará para finalizar la factorización. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

¿Se pueden factorizar las siguientes expresiones como una suma de cubos? Si es así, factorizar.

Ejemplo 1: y ^ 5 + 27. No, esta expresión no se puede factorizar como una suma de cubos porque el primer término (y ^ 5) no es un cubo. En otras palabras, no hay nada que se pueda multiplicar por sí mismo tres veces para igualar y ^ 5. Por lo tanto, la expresión no se puede factorizar.

Ejemplo 2: x ^ 3 + 64. Sí, esta expresión se puede factorizar como una suma de cubos ya que ambos términos tienen el mismo signo (+) y cada expresión es un cubo. x se puede elevar al cubo para dar x ^ 3 y 4 se puede elevar al cubo para hacer 64. Por lo tanto, sustituyendo a = x y b = 3 en la fórmula de suma de cubos se obtiene (x + 3) (x ^ 2 – (x) (4 ) + 4 ^ 2). Simplificar (x) (4) a 4x y 4 ^ 2 a 16 nos da la respuesta final de (x + 3) (x ^ 2 – 4x + 16).

Ejemplo 3: 8x ^ 3 + 27y ^ 6. Los dos términos tienen el mismo signo, pero ¿cada término es un cubo? Sí, podemos multiplicar (2x) (2x) (2x) para hacer 8x ^ 3 y (3y ^ 2) (3y ^ 2) (3y ^ 2) para ser 27y ^ 6. Por tanto, a = 2x y b = 3y ^ 2. Al conectarlos a la fórmula, se obtiene la siguiente factorización:

Ejemplo 4: -2x ^ 3 – 54. Primero, debe notar que si bien los términos tienen el mismo signo (-), no ambos son positivos como en los ejemplos anteriores. Sin embargo, eso no es un problema, ya que podemos extraer un factor de un número negativo para que cada término sea positivo. Además, debería ver que -2 y -54 no son cubos. Sin embargo, tienen un factor de 2 en común o, en este caso, técnicamente -2. Primero, factorizará -2 de ambos términos para dar -2 (x ^ 3 + 27). Luego puede proceder a factorizar x ^ 3 + 27 como una suma de cubos donde a = x y b = 3. Por lo tanto, tenemos -2 (x + 3) (x ^ 2 – (x) (3) + 3 ^ 2) = -2 (x + 3) (x ^ 2 – 3x + 9)

Resumen de la lección

Para factorizar una expresión como una suma de cubos, primero debe verificar si cumple con los criterios para una suma de cubos. La expresión debe tener dos términos, cada uno con el mismo signo, y cada término debe ser un cubo. Recuerde que a veces es posible que deba extraer un factor común primero antes de poder determinar si los términos son cubos. Si se cumplen esos criterios, puede factorizar la suma de cubos de acuerdo con la fórmula.

Finalmente, asegúrese de simplificar su respuesta después de insertar los valores en la fórmula.

Lección de un vistazo

Un cubo es un término que se multiplica por sí mismo tres veces. Para factorizar una expresión como una suma de cubos, primero debe cumplir los criterios para una suma de cubos. La expresión debe tener dos términos, cada uno con el mismo signo, y cada término debe ser un cubo. Un ejemplo es x ^ 3 + 64.

Los resultados del aprendizaje

Estudiar la lección ampliará su capacidad para:

• Reconocer una suma de cubos
• Identificar los criterios para una suma de cubos.
• Factorizar una expresión como suma de cubos
• Trabaja con una serie de ejemplos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador