Factorizar polinomios usando la forma cuadrática: pasos, reglas y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Cambio de forma

Factorizar un polinomio, como x 4 – 29 x 2 + 100 puede parecer intimidante. En esta lección, aprenderá a cambiar la forma de ciertos polinomios de grado superior para que sean mucho más fáciles de factorizar.

Primero analicemos el cambio de forma en el mundo de los insectos. Los insectos generalmente pasan por múltiples etapas de la vida y la apariencia de algunos insectos es muy diferente de una etapa de la vida a la siguiente. En otras palabras, cambian de forma. Considere la mariposa monarca: en su etapa larvaria, tiene forma de oruga. Durante esta etapa de la adolescencia, la oruga come hojas como si no hubiera mañana. En el momento adecuado, la oruga monarca se prepara para su transformación a la edad adulta. Emerge de su caparazón para revelar un cambio biológico radical. La oruga ha cambiado de forma para que ahora pueda disfrutar de la vida y las responsabilidades de una mariposa adulta.

En matemáticas, generalmente no estamos cambiando la forma de los seres vivos. Sin embargo, cambiar las formas de las expresiones matemáticas puede resultar eficaz para encontrar soluciones a problemas, como el que mencioné al principio de la lección.

La forma cuadrática

Veamos la forma estándar de la función cuadrática en una variable: y = ax 2 + bx + c . Una función cuadrática en una variable tiene un grado de 2 porque la variable del término principal tiene un exponente de 2. El segundo término en x ( bx ) en realidad tiene un exponente de 1, pero este exponente generalmente no se muestra. Las cartas una , b , y c de representar números reales, excepto que una no puede ser igual a cero.

Consideremos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 + 4 x – 21 = 0. Podemos factorizar esta ecuación de la siguiente manera: ( x + 7) ( x – 3) = 0. Ahora podemos usar la propiedad del producto cero para resolver la ecuación : x + 7 = 0, entonces x = -7. x – 3 = 0, entonces x = 3. Sin embargo, el resto de esta lección se enfocará en la tarea de factorizar .

Cambiar a forma cuadrática

Ahora veamos una expresión polinomial que tiene un grado mayor que dos, como sigue: x 4 + x 2 – 12. Esta expresión no se ajusta a nuestra definición de función cuadrática en una variable porque tiene un grado de 4. Sin embargo, podemos reescribirlo en forma cuadrática. Recuerda que el término principal en una expresión cuadrática tiene un exponente de 2 y el otro término x tiene un exponente de 1. Primero podemos reescribir la expresión de la siguiente manera:

( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 1 – 12

Hagamos una cosa más: sustituyamos x 2 por u . En otras palabras, u = x 2 . Ahora obtenemos lo siguiente: u 2 + u – 12. Ahí lo tenemos: ¡una expresión cuadrática! Ahora es mucho más fácil factorizar. En forma factorizada, es ( u + 4) ( u – 3). Recuerda que u = x 2 . Ahora cambie u de nuevo al término que reemplazó originalmente: ( x 2 + 4) ( x 2 – 3). Nuestra expresión original ahora se factoriza:

x 4 + x 2 – 12 = ( x 2 + 4) ( x 2 – 3)

Es posible que haya notado que si cuadramos el segundo término en x , obtenemos un término con un exponente de 4, al igual que el término principal. En otras palabras, ( x 2 ) 2 = x 4 . Este será siempre el caso de las expresiones polinomiales que se pueden escribir en forma cuadrática.

Ahora necesitamos definir la forma cuadrática . Una expresión está en forma cuadrática si podemos reescribirla en la forma de au 2 + bu + c y u es cualquier expresión en x . Tenga en cuenta que la variable u se puede utilizar para reemplazar cualquier expresión en x . Por lo tanto, no siempre será igual a x 2 . Reemplazará una expresión apropiada para que podamos escribir un polinomio en forma cuadrática como en nuestro siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Escribe la expresión en forma cuadrática si es posible:

3 x 8 – 22 x 4 – 16

Podemos reescribir la expresión como 3 ( x 4 ) 2 – 22 ( x 4 ) 1 – 16. Podemos sustituir x 4 por u y reescribir la expresión como sigue: 3 u 2 – 22 u – 16. Ahora tenemos una expresión en forma cuadrática.

Ejemplo 2

Escribe la expresión en forma cuadrática si es posible:

x 10 – 5 x 4 + 9

Podemos reescribir el primer término como x 10 = ( x 5 ) 2 . Luego, podemos reescribir la expresión completa como ( x 5 ) 2 – 5 ( x 4 ) 1 + 9. Observe que nuestros términos en x no son los mismos: x 5 no es igual a x 4 . No podemos reemplazar ambos términos con la misma variable. Si sustituimos x 5 por u , no podemos sustituir x 4 por u, y viceversa. Por lo tanto, esta función no se puede escribir en forma cuadrática. También tenga en cuenta que el cuadrado de x ^ 4 (( x 4 ) 2 ) es igual a x 8 , que no es lo mismo que el término principal x 10 .

Ejemplo 3

Factoriza la expresión polinomial x 4 – 29 x 2 + 100. Podemos reescribir la expresión como ( x 2 ) 2 – 29 ( x 2 ) 1 + 100, por lo que podemos sustituir u por x 2 y reescribir la expresión de la siguiente manera:

u 2 – 29 u + 100

La forma cuadrática de la expresión ahora se puede poner en forma factorizada como ( u – 25) ( u – 4). Recuerde que u = x 2 en este problema, así que cambie u de nuevo ax 2 para obtener ( x 2 – 25) ( x 2 – 4). Ambos factores son una diferencia de cuadrados y se pueden incluir en los siguientes factores:

( x – 5) ( x + 5) ( x – 2) ( x + 2)

Ejemplo 4

Factoriza la expresión polinomial x 6 – 49. Podemos reescribir la expresión como ( x 3 ) 2 – 49. En este ejemplo no hay un segundo término en términos de x ; por lo tanto, solo tenemos que preocuparnos por cambiar el término principal. Entonces podemos sustituir u por x 3 y reescribir la expresión como sigue: u 2 – 49. La forma cuadrática de la expresión ahora se puede poner en forma factorizada como ( u – 7) ( u + 7). Recuerda que u es igual ax 3 en este problema, así que cambia u de nuevo ax3 para obtener:

( x 3 – 7) ( x 3 + 7)

Resumen de la lección

Factorizar polinomios de grado superior puede ser una tarea ardua. Sin embargo, factorizar expresiones cuadráticas suele ser más fácil. Por lo tanto, intente ver si puede escribir un polinomio de grado superior en forma cuadrática. Esto le permitirá utilizar ciertas técnicas de factorización que se utilizan para factorizar expresiones cuadráticas.

Resultado de aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, debería poder demostrar cómo factorizar polinomios usando la forma cuadrática.

¡Puntúa este artículo!