Fracciones parciales: reglas, fórmulas y ejemplos

Suma de fracciones

Dos amigos, Sam y Julie, deciden compartir un pastel. Juntos, comen 7/12 del pastel entero. Si Sam se comió 1/4 del pastel, ¿cuánto comió Julie?

Para responder a esta pregunta, primero tenemos que reconocer que la fracción 7/12 se puede escribir como la suma de otras dos fracciones: 1/3 y 1/4, que, como puede ver, se convierte en 3/12 + 4 / 12 y nos da la respuesta de 7/12.

Entonces, puedes ver que si Sam se comió 1/4 del pastel, Julie debe haber comido 1/3 del pastel.

Expansión de fracción parcial

El proceso de tomar una sola fracción y expresarla como la suma de varias fracciones se llama expansión de fracción parcial . Si bien es bastante fácil ver cómo sumar fracciones simples como 1/4 y 1/3 para obtener 7/12, también puede usar un proceso similar para separar algunas fracciones más complicadas.

La expansión de una fracción polinomial se convierte en una serie de fracciones más simples. Esto es importante en cálculo, donde facilita mucho los problemas muy difíciles.

Veamos un ejemplo. Considere la siguiente fracción:

¿Qué fracciones más simples podrías sumar para obtener este polinomio? Probablemente no sea obvio de inmediato, ¿verdad?

Hay una serie de pasos que puede seguir para expandir esta fracción.

1. Factoriza el denominador tan completamente como puedas. En este caso, el denominador tiene tres factores, por lo que la fracción se puede escribir así:
   
   
2. Separa la fracción en tres fracciones diferentes, cada una con un denominador igual a uno de los factores que acabas de encontrar. Usa variables (como A , B , C , etc.) para representar los numeradores desconocidos de cada fracción.
   
   
3. Multiplica por el mínimo común denominador para poder sumar las fracciones. En este caso, como puede ver, el mínimo común denominador es x ( x + 3) ( x – 1).
   
   
4. Debido a que los denominadores son iguales, puede hacer que los numeradores sean iguales entre sí. Luego, sustituya los valores por x para hacer que cada factor sea cero para que pueda resolver las variables A, B y C.
   
   
5. Finalmente, puede escribir la fracción original como una suma de tres fracciones.
   
   

Problema de práctica

Probemos con otro problema de práctica para asegurarnos de que comprende cómo hacerlo. Mire esta fracción y vea si escribe la expansión de la fracción parcial.

Recuerde los pasos que acaba de aprender e intente realizarlos antes de buscar la solución.

¿Estás listo para ver cómo hacerlo? Primero, factoriza el denominador y luego escribe la fracción como la suma de dos fracciones, dándonos:

Luego, multiplica cada fracción por el mínimo común denominador y iguala los numeradores entre sí, dándonos:

Por último, establezca x = 0 y x = 4 para encontrar una y B .

A partir de estos cálculos, podemos ver que A = 3 y B = 2.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido. El proceso de tomar una sola fracción y expresarla como la suma de varias fracciones se llama expansión de fracción parcial . Para expandir una fracción, siga estos pasos:

1. Factoriza el denominador tan completamente como puedas.
2. Separa la fracción en tres fracciones diferentes, cada una con un denominador igual a uno de los factores que acabas de encontrar. Usa variables (como A , B , C , etc.) para representar los numeradores desconocidos de cada fracción.
3. Multiplica por el mínimo común denominador.
4. Iguala los numeradores de cada fracción entre sí. Luego, sustituya los valores por x para hacer que cada factor sea cero, de modo que pueda resolver las variables desconocidas.
5. Finalmente, escribe la fracción original como la suma de varias fracciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador