Funciones circulares: Ecuaciones y ejemplos
¿Qué son las funciones circulares?
Es posible que haya aprendido inicialmente sobre el seno, el coseno y la tangente de un ángulo como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el tercer lado se llama hipotenusa . Dado el ángulo A , las tres relaciones son las siguientes:
- sinA = (longitud del lado opuesto al ángulo A ) / longitud de la hipotenusa)
- cosA = (longitud del lado adyacente al ángulo A ) / (longitud de la hipotenusa)
- tanA = (longitud del lado opuesto al ángulo A ) / (longitud del lado adyacente al ángulo A ) = sinA / cosA
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Se puede pensar en las funciones circulares como una forma de extender estas relaciones matemáticas extremadamente útiles a cualquier triángulo. Para visualizar funciones circulares, primero comenzamos con un círculo unitario , o un círculo con un radio igual a una unidad de medida.
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En este círculo, dibuje un plano de coordenadas x – y , con el origen en el centro del círculo.
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Ahora, inserte un triángulo rectángulo en el cuadrante I, de modo que la hipotenusa sea igual al radio del círculo, un lado del ángulo recto quede horizontalmente a lo largo del eje x y el otro lado sea una línea vertical que se encuentre con la hipotenusa que se encuentra en el círculo. . El ángulo estará formado por una cierta longitud del eje x en un lado y la hipotenusa en el otro. El punto del círculo donde la hipotenusa y el cateto vertical se cruzan es un punto de coordenadas rectangulares ( x , y ).
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Uso de trigonometría para describir puntos en un círculo
¿Cómo funciona esto x e y valor se traducen en la trigonometría? Dado que la hipotenusa es siempre igual al radio del círculo, lo llamamos r . Dado que el cateto horizontal se encuentra a lo largo del eje x , lo llamamos x . Dado que el cateto vertical describe una posición en el eje y , lo llamamos y . Usando x , y y r , ahora podemos describir sinA , cosA como sigue:
- SinA = y / r
- CosA = x / r
Ahora, para resolver x e y , multiplique ambos lados de sinA = y / r por r y multiplique cosA = x / r por r .
y = r * sinA
Si multiplicamos ambos lados de cosA = y / r por r , obtenemos:
x = r * cosA
Ahora, a medida que la hipotenusa se mueve en sentido antihorario alrededor de la circunferencia del círculo, se puede formar un ángulo recto de la misma manera para cada ángulo desde 0 grados a 360 grados. Cada uno de estos ángulos se puede describir mediante el punto ( x, y ) o ( rcosA, rsinA ).
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Tenga en cuenta que para la mayoría de los ángulos, tendrá que usar una calculadora o una tabla para encontrar el valor del coseno o del seno para completar sus cálculos. Aquí hay un ejemplo del uso de estas fórmulas: Si queremos convertir un ángulo de 90 grados en un círculo de radio 1 en una coordenada ( x, y ), los pasos serían los siguientes:
- x = r * cos90 = 1 (0) = 0, usando una calculadora para encontrar el valor de cos90.
- y = r * sin90 = 1 (1) = 1, usando una calculadora para encontrar el valor de sin90.
- El par ordenado ( x, y ) para un ángulo de 90 grados en un círculo unitario es (0,1).
¿Qué pasa con los círculos con radios no iguales a 1? El radio de 1 simplifica el cálculo y la comprensión. Sin embargo, el radio del círculo puede tener cualquier valor excepto cero para que estas fórmulas funcionen.
Trigonometría y el teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Si las piernas tener una longitud un y b y la hipotenusa tiene una longitud c , entonces el Teorema de Pitágoras establece que:
- a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
En una función circular, encontramos que x = r * cosA , y = r * sinA , y la hipotenusa es el radio del círculo o r . Desde x y y representan las piernas del triángulo rectángulo, podemos derivar una ecuación muy útil el uso de las funciones trigonométricas seno y coseno.
- ( rsinA ) ^ 2 + ( rcosA ) ^ 2 = r ^ 2
- r ^ 2 ( sinA ) ^ 2 + r ^ 2 ( cosA ) ^ 2 = r ^ 2.
Si dividimos cada término por r ^ 2, obtenemos lo siguiente:
- ( sinA ) ^ 2 + ( cosA ) ^ 2 = 1
A esto se le llama identidad trigonométrica fundamental porque esta ecuación será cierta para cada valor de ángulo.
Resumen de la lección
Las funciones circulares permiten extender las funciones básicas aprendidas en trigonometría de ángulo recto a ángulos de cualquier tamaño, utilizando un círculo unitario. Al hacer esto, cada ángulo de 0 grados a 360 grados se empareja con un par ordenado único ( x, y ) en el plano de coordenadas. Además, se establece una identidad muy importante que conecta el Teorema de Pitágoras básico con el seno y el coseno.