Momentos
Al estudiar las variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad, algunos de los primeros conceptos que aprende un estudiante de estadística son el valor esperado y la varianza. El valor esperado o la media de una variable aleatoria ( X ) es su promedio y la varianza es la extensión de la distribución de probabilidad.
El valor esperado y la varianza son ejemplos de cantidades conocidas como momentos, donde los momentos se utilizan para realizar mediciones sobre la tendencia central de un conjunto de valores. Podemos encontrar los momentos de una distribución de probabilidad usando su función generadora de momentos. En esta lección, aprenderemos cómo encontrar una función generadora de momentos, así como cómo usarla para encontrar el valor esperado y la varianza.
Funciones generadoras de momentos
Una función generadora de momentos , o MGF, como su nombre lo indica, es una función que se usa para encontrar los momentos de una variable aleatoria dada. La fórmula para encontrar el MGF (M ( t )) es la siguiente, donde E es el valor esperado:
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Ésta es la fórmula general para encontrar un MGF bajo la condición de que exista un número positivo b , tal que b ≤ | t |. La forma de calcular esto en la práctica difiere dependiendo de si estamos trabajando con una distribución de probabilidad discreta o continua.
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En esta ecuación, p ( x ) yf ( x ) son las funciones de densidad de sus distribuciones de probabilidad dadas.
Hallar el valor esperado y la varianza
Una vez que tenemos un MGF, necesitamos saber cómo usarlo para generar momentos. Hacemos esto tomando derivadas del MGF y evaluándolo en t igual a 0.
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Cada derivada consecutiva del MGF te da un momento diferente. Cada momento es igual al valor esperado de X elevado a la potencia del número del momento.
Al tomar la primera derivada ( n = 1) de la MGF y el establecimiento de t igual a 0, nos encontramos con el valor esperado o media de variable aleatoria X . La segunda derivada ( n = 2) nos da el valor esperado de X 2 , que se puede usar para encontrar la varianza con la siguiente fórmula:
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Problemas de ejemplo
Para comprender completamente cómo usamos el MGF, trabajemos juntos en un par de problemas. Para nuestro primer problema, encontraremos el MGF para una distribución de probabilidad conocida. En este caso, encontremos el MGF de la distribución binomial. Si necesita un recordatorio rápido, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, y su función de densidad se da a continuación, donde p es la probabilidad de éxito y q = 1 – p :
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Para encontrar este MGF, tendremos que trabajar manipulando una serie denotada por el signo de suma (∑), como tendrá que hacer cuando encuentre el MGF de una distribución de probabilidad discreta. Si está un poco confuso al lidiar con estos, puede valer la pena su tiempo para revisar algunas formas comunes en las que trabajamos con series en las clases de matemáticas, como la serie de Taylor o el teorema del binomio. De hecho, necesitaremos el teorema del binomio para poder resolver este problema.
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Con estos dos datos, tenemos todo lo que necesitamos para encontrar el MGF de la distribución binomial.
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Ahora que hemos encontrado el MGF de la distribución binomial, usémoslo para encontrar su valor esperado y varianza para nuestro segundo problema de ejemplo.
Para el valor esperado, lo que estamos buscando específicamente es el valor esperado de la variable aleatoria X . Para encontrarlo, comenzamos tomando la primera derivada del MGF.
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Una vez que hemos encontrado la primera derivada, encontramos el valor esperado de X estableciendo t igual a 0.
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Ahora, pasamos a encontrar la varianza. Queremos comenzar por encontrar el valor esperado de X 2 . Para hacer esto, necesitamos encontrar la segunda derivada del MGF.
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A continuación, una vez más establecemos t igual a 0.
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Ahora, lo que hemos encontrado aquí no es la variación todavía. Para encontrarlo, usamos nuestra fórmula de varianza, que es el valor esperado de X 2 (lo que acabamos de encontrar) menos el cuadrado del valor esperado de X (lo que encontramos antes).
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Resumen de la lección
¡Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido!
En estadística, a menudo nos encontramos trabajando con valores esperados (media) y variaciones. Ambos son ejemplos de un tipo de cantidad conocida como momento , que se utiliza para realizar mediciones sobre la tendencia central de un conjunto de valores.
Tanto el valor esperado como la varianza son cantidades importantes en las estadísticas, y podemos encontrarlas usando una función generadora de momentos (MGF), que encuentra los momentos de una distribución de probabilidad dada. Si conocemos la distribución de probabilidad (p ( x ) yf ( x )) en cuestión, podemos encontrar su MGF (M ( t )) usando las siguientes fórmulas:
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Una vez que tenga el MGF, encuentre los momentos de la distribución de probabilidad tomando derivadas y luego estableciendo t igual a cero.
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El primer momento ( n = 1) encuentra que el valor esperado o media de la variable aleatoria X . El segundo momento ( n = 2) encuentra el valor esperado de X 2 . Finalmente, podemos usar ambos para encontrar la varianza usando la siguiente fórmula:
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