Funciones generadoras de momentos para variables aleatorias continuas: ecuaciones y ejemplos

Comprensión de las funciones generadoras de momentos

Suponga que ha decidido medir la temperatura alta en su casa todos los días durante el mes de julio. Dependiendo de dónde viva, es más probable que ocurran algunas temperaturas que otras, ¿verdad? Si vive en el hemisferio norte, julio suele ser un mes bastante caluroso. Es posible que tenga un día inusualmente frío, pero no es muy probable.

Durante el mes de julio, lo más probable es que todos los días sean bastante calurosos.

La temperatura es un ejemplo de una variable aleatoria continua porque cualquier valor es posible; sin embargo, no todos los valores son igualmente probables. Entonces, ¿cómo se pueden representar matemáticamente todos los valores posibles de una variable aleatoria continua como esta?

Una forma es definir una función especial conocida como función generadora de momentos. La función generadora de momentos no solo representa la distribución de probabilidad de la variable continua, sino que también se puede usar para encontrar la media y la varianza de la variable.

Encontrar el valor esperado

Para una determinada variable aleatoria continua, la función generadora de momentos viene dada por:

Puede utilizar esta función de generación de momentos para encontrar el valor esperado de la variable. El valor esperado es el valor que es más probable que ocurra en la distribución, por lo que también es igual a la media de la población.

Para determinar el valor esperado, encuentre la primera derivada de la función generadora de momentos:

Luego, encuentre el valor de la primera derivada cuando t = 0. Esto es igual a la media, o valor esperado, de la variable aleatoria continua:

Encontrar la varianza

También puede utilizar la función de generación de momentos para encontrar la varianza. Si bien el valor esperado le dice el valor de la variable que es más probable que ocurra, la varianza le dice qué tan dispersos están los datos. Para encontrar la varianza, necesita tanto la primera como la segunda derivada de la función generadora de momento.

Ya hemos encontrado la primera derivada de la función generadora de momentos dada anteriormente, así que la diferenciaremos nuevamente para encontrar la segunda derivada:

Luego, la varianza se puede calcular utilizando la primera y la segunda derivada de la función generadora de momento:

En este caso, cuando t = 0, la primera derivada de la función generadora de momento es igual a -3, y la segunda derivada es igual a 16. Esto significa que la varianza en este caso es igual a 7:

Resumen de la lección

Una variable aleatoria continua es aquella en la que cualquier valor es posible. Una forma de determinar la probabilidad de que ocurra cualquier variable es utilizar la función generadora de momentos asociada con la variable aleatoria continua. La función generadora de momentos se puede utilizar para encontrar tanto la media como la varianza de la distribución.

Para encontrar la media, primero calcule la primera derivada de la función generadora de momentos. La media, o valor esperado, es igual a la primera derivada evaluada cuando t = 0:

E ( X ) = M ‘ (0)

Para encontrar la varianza, calcule la primera y segunda derivadas de la función generadora de momentos. Entonces, la varianza es igual a:

Var ( X ) = M » (0) – M ‘ (0) 2

Rodrigo Ricardo Editor y fundador