Graficar funciones en coordenadas polares: proceso y ejemplos
Coordenadas polares
Ahora que está muy familiarizado con sus coordenadas cartesianas de ( x , y puntos) en una cuadrícula con una x eje x y y eje x, es el momento de presentarle a otra forma de trazar puntos. A esto lo llamamos coordenadas polares . En lugar de puntos ( x , y ), ahora tenemos puntos ( r , theta). ¿Puedes adivinar qué significan la ry theta?
Si está imaginando un círculo en su cabeza, entonces está en el camino correcto. La r representa el radio, o la distancia desde el origen de nuestra cuadrícula, y theta representa el ángulo que forma el radio con el eje horizontal. En la cuadrícula de coordenadas cartesianas, el eje horizontal es el eje x positivo . La cuadrícula del sistema de coordenadas polares se ve un poco diferente. Todavía tenemos nuestros ejes x e y . Pero en lugar de hacer pequeños cuadrados verticales y horizontales, ahora tenemos círculos para cada paso de radio y diferentes líneas que salen del origen marcando diferentes ángulos.
La forma de trazar los puntos también es un poco diferente. Piense en sus coordenadas cartesianas y cuando estaba trazando puntos en abundancia. ¿Qué recuerdas sobre graficar puntos ( x , y )? Sí, la x le dice qué tan lejos ir en el eje x , e y le dice qué tan lejos ir en el eje y . En otras palabras, la x le dice qué tan a la derecha o a la izquierda está nuestro punto, y la y nos dice qué tan lejos está el punto hacia arriba o hacia abajo. Sin embargo, para nuestro punto de coordenadas polares ( r , theta), trazamos de manera diferente. Comenzamos en el origen de nuestra cuadrícula. La rnos dice qué tan lejos ir desde el origen. Ahora, la theta nos dice qué tan lejos girar nuestro radio en dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje positivo. Por ejemplo, el punto (1, 20) en nuestro sistema de coordenadas cartesianas se traza yendo 1 paso a la derecha en el eje x y luego 20 pasos hacia arriba. Sin embargo, el punto (1, 20 grados) en nuestro sistema de coordenadas polares se encuentra alejándose un paso del radio y luego girando este radio 20 grados desde el eje x positivo .
Coordenadas cartesianas a polares
¿Le sorprendería descubrir que estos dos sistemas están realmente relacionados entre sí matemáticamente? Sí lo son. Y sí, tenemos fórmulas para ayudarnos a convertir de un sistema a otro. Pero primero, ¿cómo se relacionan?
Bueno, mire nuestro punto de coordenadas cartesianas (1, 20) a continuación. Si trazamos una línea desde este punto hasta nuestro origen, obtendríamos nuestro radio. Podemos seguir adelante y sacar nuestras líneas verticales y horizontales para representar nuestras x e Y. valores. El ángulo que está formado por la línea xy la línea r que dibujamos ahora es nuestro theta. Ahora, mira qué tipo de forma tenemos a continuación. ¿No es un triángulo rectángulo? Sí lo es. Y este triángulo rectángulo nos da nuestra fórmula de conversión para convertir puntos de coordenadas cartesianas en puntos de coordenadas polares.
![]() |
Para encontrar el valor r de un punto cartesiano, usamos el teorema de Pitágoras, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde c es la hipotenusa. En el triángulo que dibujamos, el lado c es equivalente al lado del radio, el lado r . Los unos y b lados son entonces las x y Y lados. Si resolvemos el teorema de Pitágoras para cy luego sustituimos nuestros valores equivalentes, obtenemos r = sqrt ( x ^ 2 + y^ 2). Nuestra theta proviene de la definición de tangente como opuesta sobre adyacente. El lado opuesto a nuestro ángulo es el lado y , y el lado adyacente a nuestro ángulo es el lado x . Entonces, tenemos theta = la tangente inversa de y sobre x (theta = tan ^ -1 ( y / x )).
Ejemplo
Veamos un ejemplo para ver cómo convertimos de un punto cartesiano a un punto polar.
Convierta (3, 4) a coordenadas polares.
Tenemos nuestro punto ( x , y ). Nuestra x es 3 y nuestra y es 4. Para encontrar nuestro valor r , ingresamos estos valores en nuestra fórmula, r = sqrt ( x ^ 2 + y ^ 2). Obtenemos r = sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt (9 + 16) = sqrt (25) = 5. Nuestra r es 5.
Para encontrar theta, nos tapón de nuestra x y Y valores en la fórmula theta = tan ^ -1 ( y / x ). Obtenemos theta = tan ^ -1 (4/3) = 53 grados. Debido a que nuestro punto original está en el primer cuadrante, podemos confiar en la respuesta de la calculadora. Pero si nuestro punto original está en un cuadrante diferente, entonces necesitamos hacer un cálculo más para obtener una respuesta correcta. Utilice esta tabla para averiguar qué debe hacer para cada cuadrante:
Cuadrante | Qué hacer con tan ^ -1 |
---|---|
yo | Usar valor de calculadora |
II | Suma 180 grados al valor de la calculadora |
III | Suma 180 grados al valor de la calculadora |
IV | Agregue 360 grados al valor de la calculadora |
Graficar ecuaciones polares
Graficar ecuaciones polares también es un poco diferente a graficar ecuaciones cartesianas. Para las ecuaciones cartesianas tenemos lo que llamamos la forma pendiente-intersección, y = mx + b , donde miramos nuestra intersección y , el valor b , y luego nuestra pendiente, el valor m , para averiguar qué tan empinada es nuestra línea . Las ecuaciones polares no son tan fáciles. La mejor manera de graficar ecuaciones polares es crear una tabla de valores.
Además, las ecuaciones polares se ven un poco diferentes a las ecuaciones cartesianas. Las ecuaciones polares a menudo contienen funciones trigonométricas en ellas. Por ejemplo, verá ecuaciones como r = 2 cos (theta) o r = 2 sin (theta). Otros ejemplos de ecuaciones polares incluyen r = 2 y r = 3 + 2 cos (theta).
Grafiquemos r = 2 cos (theta) para ver lo que obtenemos. Nos haremos una tabla de valores para ry theta. Elegimos varios ángulos y luego calculamos para ver qué obtenemos para r . Luego trazamos estas coordenadas polares para ver qué tipo de forma se desarrolla. Obtenemos esta tabla de valores:
r | theta (grados) |
---|---|
2 | 0 |
1,73 | 30 |
1 | 60 |
0 | 90 |
-1 | 120 |
-1,73 | 150 |
-2 | 180 |
-1,73 | 210 |
-1 | 240 |
0 | 270 |
1 | 300 |
1,73 | 330 |
Al trazarlos en nuestro sistema de coordenadas polares y luego conectar los puntos, obtenemos un círculo de radio 1 que toca el eje y a la derecha.
![]() |
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora:
Aprendimos que el sistema de coordenadas polares es otra forma de graficar puntos. En lugar del sistema cartesiano de ( x , y ) puntos, ahora tenemos un sistema polar de ( r , theta) puntos. La r representa el radio y la theta representa el ángulo que forma el radio con el eje x positivo . Para trazar un punto, primero miramos el radio para ver cuánto mide el radio desde el origen. Luego miramos el ángulo theta para ver qué tan lejos oscila el radio en sentido antihorario desde el eje x positivo . Para trazar una ecuación polar, como r= 2 sin (theta), creamos una tabla de puntos y luego los graficamos en un gráfico polar para ver qué tipo de forma obtenemos cuando conectamos los puntos. Para convertirlos de puntos cartesianos a puntos polares usamos r = sqrt ( x ^ 2 + y ^ 2) y theta = tan ^ -1 ( y / x ).
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, podrá:
- Diferenciar entre el sistema de coordenadas polares y el sistema cartesiano
- Convertir puntos cartesianos en puntos polares
- Grafica una ecuación polar
Articulos relacionados
- ¿Qué es el Proceso Adiabático Reversible?
- ¿Qué es un Proceso Isotérmico Reversible?
- ¿Qué es un Proceso de Condensación?
- ¿Qué es un Proceso de Vaporización?
- ¿Qué Fue el Proceso de Paz con ETA y Por Qué Fue Relevante?
- ¿Qué es el Salario Real? Fórmula y ejemplos
- Propiedades de una sustancia: Definición, tipos y ejemplos
- ¿Qué es la Distribución Geográfica? Ejemplos
- Cliché: Definición, frases y ejemplos
- Literatura Fantástica Moderna: Definición, historia y ejemplos