Monta las olas
Digamos que vamos a surfear. En realidad, no, digamos que vas a surfear. No voy a ser un cebo para tiburones. ¿Pero tu? Estás menos aterrorizado por el océano que yo.
Entonces, estás sentado en tu tabla, esperando que surja la ola perfecta. Observa que las ondas se mueven en patrones regulares. Hay este arriba y abajo que es notablemente consistente. Este movimiento ondulatorio es lo que vamos a explorar aquí.
Por cierto, veo lo mismo desde la seguridad de la orilla. Y por mucho que me gusten las matemáticas, no me arriesgo a morir como un tiburón por ello. Bien por ti, sin embargo.
La onda seno y coseno
Cuando estás sentado allí, esas ondas uniformes y constantes son como una onda sinusoidal o cosenoidal. La onda sinusoidal es la gráfica de y = sen x . Se parece a esto:
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Comienza en (0,0) y se mueve hacia arriba y hacia abajo según los valores del seno. El seno de pi / 2 es 1, por lo que nuestra gráfica llega a 1 allí. El seno de pi es 0, por lo que vuelve a 0 allí. A 3pi / 2, es -1, luego vuelve a 0 por 2pi, que es un círculo completo. 2pi es solo 360 grados en radianes. Esa única ola ascendente y descendente se llama período. Como las olas del océano, sigue su curso. Pero llamamos período a una revolución completa.
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Luego está la onda del coseno. Si alguna vez has surfeado y sabes que no lo he hecho, sabes que las olas son diferentes en diferentes días. La trigonometría no es diferente. Aquí está la gráfica de y = cos x , o la onda del coseno:
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Cuando x es 0, el coseno es 1, por lo que en lugar de comenzar en (0,0) como la onda sinusoidal, la onda del coseno comienza en (1,0). Luego baja hasta llegar a pi, donde el coseno es -1, antes de volver a subir a 1 en 2pi.
Nuevamente, el período es 2pi. También está la amplitud. Esta es la distancia más grande que recorre la onda desde 0. Eso será 1 para las ondas seno y coseno. Tenga en cuenta que la amplitud es solo la distancia desde 0, no la distancia vertical total. Es como la altura de una ola desde el horizonte, a diferencia de la caída que hace.
Transformaciones de amplitud
Entonces, eso es y = sin x y y = cos x . Pero, ¿y si nuestra ecuación es un poco más complicada? ¿Qué pasa si estamos en una tabla de surf, lo siento, qué pasa si estás en una tabla de surf y el mar está enojado ese día? Olas más grandes, ¿verdad?
Podemos transformar nuestra gráfica usando esta ecuación: y = A sin ( Bx + C ). Esto es realmente solo campanas y silbidos. y = sen x es lo mismo que esta ecuación, pero en esta ecuación, A y B son 1 y C es 0. ¿Pero qué pasa si no lo son?
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Vamos a empezar por cambiar una . ¿Qué sucede con y = 2sin x ? Básicamente, nuestros valores de y llegan al doble que con y = sin x . Entonces, la A impacta la amplitud. ¡A de amplitud! Ordenado. Entonces, en lugar de 1, como con y = sin x , la amplitud de y = 2sin x es 2.
Transformaciones de período
De acuerdo, todavía no he visto tiburones, solo olas ordinarias y … ¡Espera! ¿Que es eso? Oh, solo un poco de madera flotante. Sí, me divierto mucho en la playa.
De todos modos, vamos a la próxima manipulan B . Probemos y = sin 2 x . ¿Qué pasa con nuestra gráfica? Bueno, todavía comenzamos en (0,0). Pero ahora subimos y bajamos en un período más corto. Ese gráfico se ve así:
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¿Por qué? Si ingresamos valores para x , vemos que en lugar de presionar 1 en pi / 2, lo golpeamos en pi / 4. Entonces, nuestro período no es 2pi, es pi.
Eso significa que nuestro B valor afecta el periodo de la gráfica y esa relación es 2 pi / B . Cualquiera que sea nuestro B , simplemente conéctelo a 2pi / B , y tendrá su nuevo período. Entonces, nuestra gráfica de y = sin 2 x muestra un océano mucho más agitado, con olas más rápidas. Aquí es cuando es más difícil ver tiburones. Por cierto, la arena de la playa, en la buena tierra firme, hoy es bonita y tranquila.
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¿Cómo recordamos que B cambia el período? Hmmm, B por un punto si murmuras «beriod?» Usamos la onda sinusoidal en estos ejemplos, pero los hechos no son diferentes con la onda coseno.
Transformaciones de cambio de fase
Finalmente, ¿qué pasa con C ? Recuerde, C era 0 en y = sin x . ¿Qué pasa con y = sin ( x + pi)? Esto hará que nuestro gráfico avance o retroceda a lo largo del eje x . A esto se le llama cambio de fase. El desplazamiento de fase se puede definir como – C / B . En esta ecuación, – C / B es -pi / 1, o simplemente -pi.
Ahora, el cambio de fase es un poco más complicado de recordar, pero siempre puede trazar algunos puntos para resolverlo. En nuestro ejemplo a continuación, ¿qué sucede cuando x es 0? Todavía tenemos ese pi allí, así que es el seno de pi. ¿Dónde está eso en el gráfico? Donde está la flecha del medio. Entonces, nuestra onda está cruzando el eje x en 0.
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Pero, ¿ves cómo cambió? Nuestra ola cambió de nuevo la distancia de – C / B . Entonces, respaldamos nuestras olas. Usualmente no ves olas yendo al revés, ¿verdad? Si lo hace, probablemente esté navegando por el camino equivocado.
Problema de muestra n. ° 1
Apuesto a que sabes lo que viene a continuación. Veamos qué pasa cuando lo juntamos todo. ¿Cuál es la gráfica de y = (1/2) sin (4 x – pi)?
Usemos lo que sabemos. Nuestra A es 1/2. A es amplitud. Entonces, nuestra amplitud es 1/2. Eso significa que el gráfico alcanzará un máximo de 1/2.
Nuestra B es 4. Eso está cambiando nuestro período. Un período normal es 2pi, por lo que nuestro período aquí es 2pi / 4 o pi / 2.
Finalmente, nuestra C es -pi. Y nuestro cambio de fase es – C / B . Aquí, será – (- pi) / 4 o + pi / 4. Entonces, esta vez nuestra onda se desplaza hacia la derecha en pi / 4.
Pon todo eso junto y obtendrás esto:
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¿Nuestra amplitud es 1/2? ¡Cheque! ¿Es el período pi / 2? ¡Revisar otra vez! ¿Y nuestro cambio de fase es + pi / 4? ¡Cheque!
Problema de muestra n. ° 2
Probemos uno más. ¿Qué pasa con y = 2cos (8 x + pi / 3)?
Nuevamente, usemos lo que sabemos. Nuestro A es 2. A para amplitud. Entonces, la amplitud es 2. Esta va a ser una onda más alta que alcanza un máximo de 2.
Nuestro B es 8. Ese es nuestro período. B de ‘beriod’, ¿verdad? Nuevamente, un período normal es 2pi, por lo que nuestro período aquí es 2pi / 8 o pi / 4. Entonces, completamos un período completo en solo pi / 4. Hasta ahora tenemos una ola alta y rápida. Me alegro de estar en tierra para este.
Finalmente, nuestro C es pi / 3. Determinamos el cambio de fase con – C / B . Aquí, será – (pi / 3) / 8, o -pi / 24. Entonces, esta vez nuestra onda se desplaza hacia la izquierda en pi / 24.
Si miramos este en un gráfico, obtienes esto:
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¿Nuestra amplitud es 2? ¡Cheque! ¿Es el período pi / 4? ¡Cheque cheque! ¿Y nuestro cambio de fase es -pi / 24? Bueno, es un poco difícil de ver aquí, pero lo es. ¡Así que lo hicimos!
Resumen de la lección
En resumen, comenzamos mirando las gráficas de y = sin x y y = cos x . Estas son las ondas seno y coseno. Luego expandimos nuestra ecuación a y = A sin ( Bx + C ), lo que implica transformaciones de la onda sinusoidal. Con estas transformaciones, A impacta directamente en la amplitud. Eso es lo lejos que llega la gráfica por encima del eje x .
B afecta el período. El período normal es 2pi. Dividimos 2pi por B para obtener nuestro nuevo período. Luego está C . Esto provoca un cambio de fase. Usamos – C / B para determinar nuestro cambio de fase. Si – C / B es negativo, cambiamos a la izquierda. Si es positivo, cambiamos a la derecha. Finalmente, si va a surfear, esté atento a esas olas. ¡Y cuidado con los tiburones!
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya completado esta lección, podrá:
- Identificar las ondas seno y coseno
- Explicar las transformaciones de amplitud, período y cambio de fase.
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