Graficar curvas de rosas, limaçons y lemniscates

Trazar ecuaciones polares

Crear un índice de X y Y los valores es una estrategia curva de trazado probado y verdadero. Las estrategias adicionales incluyen pruebas de simetría, localización de valores máximos / mínimos y reconocimiento de tipos de curvas. En esta lección, usamos estos métodos para trazar gráficos que suenan como criaturas del mar: curvas de rosas, limaçons y lemniscates.

Ideas útiles

Antes de sumergirnos en las ecuaciones polares, visitemos los gráficos polares y la simetría.

Gráficos polares

Algunas curvas polares tienen líneas de simetría . Estas líneas actúan como espejos. Los puntos frente al «espejo» se representan detrás del espejo. Las líneas de simetría son el eje polar y la línea θ = π / 2. La simetría también es posible sobre el polo.

Características polares importantes

El polo es equivalente al origen en coordenadas rectangulares. El rayo que comienza en el polo y se extiende siempre hacia la derecha es el eje polar correspondiente al eje x positivo . La línea θ = π / 2 corresponde al eje y .

La distancia desde el polo a un punto en el plano es el radio r . El ángulo θ es la rotación en sentido antihorario referida al eje polar. Conocer ry θ ubica cualquier punto en el plano.

Simetría

El número de puntos tabulados se reduce si hay simetría sobre el eje polar, la línea θ = π / 2 y / o el polo. La simetría existe:

• sobre el eje polar si ( r , θ) = ( r , -θ) o (- r , π – θ)
• sobre la línea θ = π / 2 si ( r , θ) = (- r , -θ) o ( r , π – θ)
• sobre el polo si ( r , θ) = (- r , θ) o ( r , θ + π)

Hay dos pruebas para cada tipo de simetría. Si pasa una prueba algebraica , existe simetría. Sin embargo, incluso si ambas pruebas fallan, no descarte la simetría. A veces, una prueba de simetría algebraica no pasa, pero la curva cuando se traza es simétrica.

Trazado de curvas de rosas

Las curvas de las rosas se asemejan a las flores:

Curva de rosa de 12 pétalos

Las ecuaciones de la curva rosa tienen dos formas: r = a cos (nθ) y r = a sin (nθ) donde a ≠ 0 y n es un número entero positivo. Los pétalos tienen una longitud determinada por a . Si n es impar, el número de pétalos es n. Sin embargo, si n es par, el número de pétalos es 2n. Por cierto, la ecuación para la curva de la rosa de 12 pétalos es r = 2 cos (6θ).

En la forma coseno, r máximo ocurre para nθ = 0, lo que significa que existe un pétalo en θ = 0. Para el seno, el máximo r está en θ = π / 2. Por lo tanto, nθ = π / 2, y aparece un pétalo en θ = π / (2n). En ambos casos, la separación entre los pétalos es 360 o dividido por el número de pétalos.

Ejemplo: plot r = 2 cos (3θ)

• a es 2 y n = 3
• n es impar, entonces hay n = 3 pétalos
• la separación entre los pétalos es de 360 o / (número de pétalos) = 360 o / 3 = 120 o .

Para el coseno, el primer pétalo está en θ = 0. ¿Es la curva simétrica con respecto al eje polar? La prueba de simetría es ( r , θ) = ( r , -θ) o (- r , π – θ).

( r , -θ) significa r = 2 cos (3 (-θ)) = 2 cos (-3θ) = 2 cos (θ) = ( r , θ). Prueba aprobada. Trazado de las ubicaciones conocidas de los pétalos:

Puntos conocidos

Dibujando el resto de la curva:

Dibujando a través de los puntos

Un erizo de mar muy bonito.

Trazando Limaçons

El francés para «caracol» es «limaçon». De acuerdo, no es una criatura marina, pero sigue siendo una criatura. Los Limaçon ecuaciones son r = un ± b cos theta y r = un ± b pecado θ, donde a> 0 y b> 0. Además, la señal entre una y b nos puede decir eran la mayor parte del limaçon estará con respecto a el eje polar (horizontal) y la línea π / 2 (eje vertical):

Exploremos las cuatro formas generales que puede tener un limaçon, usando la forma r = a + b sin (θ):

I. Bucle interno: a / b es <1

por ejemplo, r = 2 + 3sin (θ) tiene a = 2, b = 3 y a / b = 2/3 <1:

Bucle interior

II. Cardioide (corazón): a / b = 1

por ejemplo, r = 2 + 2sin (θ) tiene a = b = 2 y a / b = 2/2 = 1:

Cardioide

III. Hoyuelo: 1 < a / b <2

Por ejemplo, r = 3 + 2sin (θ) tiene a = 3 y b = 2. Por lo tanto, a / b = 3/2 (entre 1 y 2):

Hoyuelo

IV. Convexo (sin bucle interior ni hoyuelo): a / b es> 2

por ejemplo, r = 2 + sin (θ) tiene a = 2 y b = 1 y a / b = 2/1 = 2:

Convexo

Observe que todas las formas de r = a + b sin (θ) tienen simetría sobre la línea θ = π / 2.

Trazando lemniscates

La palabra «lemniscates» proviene del latín «lemniscatus» que significa «decorado con cintas». ¿Empezando a renunciar a esta analogía con la criatura marina?

En realidad, los lemniscates son algo náuticos y tienen forma de hélice con la forma r 2 = a 2 sin (2θ) o r 2 = a 2 cos (2θ), donde a ≠ 0.

La forma seno tiene un máximo de r en 2θ = π / 2. Por lo tanto, 2θ = π / 2 dividido por 2 da θ = π / 4 produciendo un eje de la hélice alineado en diagonal. Lemniscates como este serán simétricos con respecto al polo:

Hélice con seno

El coseno tiene un máximo r en 2θ = 0. Por lo tanto, θ = 0 y la hélice se alinea horizontalmente y es simétrica con respecto al eje polar, la línea θ = π / 2 y el polo.

Hélice con coseno

No hay muchas criaturas marinas, pero fue divertido navegar a través de estas ecuaciones polares.

Resumen de la lección

En las gráficas polares, el radio r y el ángulo θ ubican puntos en el plano. El polo , el eje polar y la línea θ = π / 2 son equivalentes al origen, el eje x positivo y el eje y respectivamente. El eje polar y la línea θ = π / 2 son líneas de simetría . También es posible la simetría sobre el polo. Hay dos pruebas algebraicas para cada tipo de simetría.

• Simetría del eje polar si ( r , θ) = ( r , -θ) o (- r , π – θ)
• θ = π / 2 simetría lineal si ( r , θ) = (- r , -θ) o ( r , π – θ)
• Simetría de polos si ( r , θ) = (- r , θ) o ( r , θ + π)

Los tres tipos de curvas discutidos en esta lección fueron:

• curvas de rosa con r = a cos (nθ) y r = a sin (nθ)
• limaçons con r = a ± b cos θ y r = a ± b sin θ
• lemnisca con r 2 = a 2 sin (2θ) o r 2 = a 2 cos (2θ)

Rodrigo Ricardo Editor y fundador