Graficar y analizar funciones racionales

Una función racional

A medida que avanza en sus matemáticas, se encontrará con funciones racionales , funciones compuestas por un polinomio dividido por otro polinomio, cada vez con más frecuencia. Esta lección le ayudará a analizar estas funciones racionales. Encontrará estas habilidades esenciales a medida que continúe en su aprendizaje de matemáticas.

Entonces, por ahora, imagina que estás explicando cómo graficar una función racional a un amigo. La función racional que tienes frente a ti es esta:

Le dices a tu amigo que no tiene que preocuparse. Puede parecer difícil, pero con lo que le vas a decir, podrá graficar esta función racional sin ningún problema. Le dices que le vas a decir cómo dividir esta función racional en partes que te den pistas sobre la gráfica.

Análisis de asíntotas verticales

Empiece hablándole sobre las asíntotas verticales , las líneas verticales a las que se aproxima la gráfica. Le dices que la gráfica se acerca a estas líneas pero nunca las toca. La forma de averiguar dónde están estas líneas verticales es establecer el denominador en 0 y resolver el denominador. Mira, si el denominador es 0, entonces tendrás un problema de división por 0, algo que es imposible en matemáticas. Debido a que es imposible en matemáticas, también es imposible graficar.

Entonces, si configuras tu denominador en 0 y luego resuelves para x , encuentras que x = 1 cuando tu denominador es igual a 0. Resolver x – 1 = 0 para x da x = 1. Entonces, x = 1 es tu asíntota vertical. Esta función racional particular solo tiene una asíntota vertical. Pero es posible tener más de una asíntota vertical. No hay límite para el número de asíntotas verticales que puede tener. Como x = 1 es una asíntota vertical, le dices a tu amigo que dibuje una línea punteada vertical para representarla en la gráfica.

Como solo hay una asíntota vertical, le dices a tu amigo que ahora puedes pasar a la siguiente parte.

Análisis de asíntotas horizontales

La siguiente parte involucra las asíntotas horizontales , las líneas horizontales a las que se aproxima la gráfica. Le dices a tu amigo que este proceso aún es simple, pero es un poco diferente. Para encontrar las asíntotas horizontales, debe observar el grado o el exponente más alto de los dos polinomios. Si el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador, entonces la asíntota horizontal estará en y = 0. Si los grados son iguales, entonces la asíntota horizontal se encuentra dividiendo los coeficientes principales.

Hay otro escenario fuera del alcance de esta lección que no se trata aquí, y es cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en la función racional. Esto resulta en lo que se llama una asíntota inclinada. Para esta lección, no tendrá que preocuparse por esto y se tratará en otra lección.

En el caso de nuestro ejemplo actual, los grados son los mismos, por lo que dividiría los coeficientes principales. En el polinomio del numerador, el coeficiente principal es 4. En el polinomio del denominador, el coeficiente principal es 1. Al dividir estos dos, se obtiene y = 4/1 = 4 como su asíntota horizontal. Al igual que con la asíntota vertical, le dices a tu amigo que dibuje una línea discontinua para marcar esta asíntota horizontal.

Ahora que ha cubierto las asíntotas verticales y horizontales, dígale a su amigo que está listo para graficar la función.

Graficarlo

Para terminar, traza solo unos pocos puntos a cada lado de todas las asíntotas verticales. Para encontrar estos puntos, inserta diferentes valores para x en la función racional y luego evalúala. Dado que la asíntota vertical está en x = 1, elige x = 0 y x = -5 para averiguar cómo se comporta la gráfica a la izquierda de esta asíntota. A la derecha de la asíntota, elige x = 2 y x = 5.

Conectando x = 0, obtienes 0 como respuesta. El primer punto está en (0, 0). Si inserta x = -5 obtendrá 4 * -5 / (-5 – 1) = -20 / -6 = 10/3. El segundo punto está en (-5, 10/3). Luego, en x = 2, la función da 4 * 2 / (2 – 1) = 8/1 = 8. El tercer punto es (2, 8). En x = 5, la función da 4 * 5 / (5 – 1) = 20/4 = 5. El cuarto punto es (5, 5). Trazarlos en el gráfico y conectar los puntos con una curva que se aproxime a las asíntotas nos da este gráfico:

Le dices a tu amigo que la razón por la que la gráfica se ve así es porque no puedes cruzar la asíntota vertical. Es por eso que el gráfico está dividido tal como está. ¡Entonces dile a tu amigo que es todo! Ha graficado la función racional y ahora puede respirar y relajarse. Tal vez incluso ir a buscar un helado.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. En esta lección, aprendimos a graficar funciones racionales , funciones compuestas por un polinomio dividido por otro polinomio. Hay tres pasos.

El primer paso es encontrar las asíntotas verticales , las líneas verticales a las que se acerca la función. Para encontrarlos, iguala el denominador a 0 y luego resuelve el denominador. Estos valores de x le dan las asíntotas verticales.

El segundo paso es encontrar las asíntotas horizontales , las líneas horizontales a las que se acerca la función. Para encontrar estas líneas, observa los grados de los polinomios. Si el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador, entonces la asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, entonces la asíntota horizontal se calcula dividiendo los coeficientes principales.

El tercer paso es trazar puntos a cada lado de todas las asíntotas verticales para averiguar cómo se comporta la gráfica en cada uno de estos intervalos. Luego dibujas una línea curva que conecta todos tus puntos y que se aproxima a todas las asíntotas. Recuerde, no puede cruzar una asíntota vertical.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Definir funciones racionales, asíntotas verticales y asíntotas horizontales.
• Explica cómo hallar las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales.
• Describir cómo realizar el paso final al graficar una función racional.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador