Graficar y resolver desigualdades cuadráticas: Ejemplos y proceso

Publicado el 1 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Una desigualdad cuadrática

Una desigualdad cuadrática es una función cuyo grado es 2 y donde y no siempre es exactamente igual a la función. Estos tipos de funciones utilizan símbolos llamados símbolos de desigualdad que incluyen los símbolos que conocemos como menor que, mayor que, menor o igual que, y mayor o igual que. Entonces, en lugar de ver un signo igual, verá estos símbolos de desigualdad.

Todas las desigualdades cuadráticas tienen la forma ax ^ 2 + bx + c , donde a , b y c son números. El números b y c pueden ser 0, pero una debe ser igual a un número. No puede ser 0. Esto se debe a que nuestra desigualdad cuadrática debe tener un valor x ^ 2. Los otros dos términos no necesitan estar ahí.

Para esta lección, trabajaremos con la función f (x) > x ^ 2 + 4 x + 3. Esta función es una desigualdad cuadrática porque su grado es 2, lo que significa que su exponente más alto es 2, y luego usa una desigualdad símbolo en lugar de un signo igual.

Trazar los puntos

El primer paso para graficar una desigualdad cuadrática es trazar algunos puntos. La forma más sencilla de hacer esto es encontrar el punto más alto o más bajo del gráfico. Todas las cuadráticas se grafican en una parábola de algún tipo con un punto alto o bajo.

El valor x de este punto se calcula usando esta fórmula: h = – b / 2 a , donde h representa el valor x que estamos buscando. La a y la b representan los números utilizados en nuestra función en sus respectivas ubicaciones. Nuestro a en nuestra función es el número 1, y nuestro b el número 4. Reemplazando estos números en la fórmula, obtenemos h = -4 / 2 * 1 = -4/2 = -2 para nuestro valor x .

Conectando este valor de x en nuestra función, podemos encontrar nuestro valor de y para ese punto. Haciendo esto obtenemos y = (-2) ^ 2 + 4 * (- 2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. Entonces, eso nos da nuestro primer punto: (-2, -1). Para encontrar nuestros otros puntos, elegiré un par de valores de x a la izquierda y a la derecha de este punto. Voy a llenar una tabla con mis puntos antes de graficarlos. Dado que mi x para el punto alto o bajo es -2, los otros números que voy a elegir son -4, -3, -1 y 0. Tengo dos puntos a la izquierda y dos puntos a la derecha. Al llenar mi tabla, obtengo esto:

X y
-4 3
-3 0
-2 -1
-1 0
0 3

Ahora puedo seguir adelante y trazar estos puntos en mi gráfico.


Los puntos
graficar la desigualdad

La línea

Ahora que tenemos todos los puntos en el gráfico, dibujamos nuestra línea. Pero espera, ¡no podemos simplemente trazar una línea vieja! El tipo de línea que dibujamos depende del símbolo que tengamos. El tipo de línea que tenemos realmente nos dice si los números de la línea están incluidos en la solución o no. Si nuestro símbolo es mayor o menor que, entonces tenemos una línea discontinua para indicarnos que los números que componen la línea no están incluidos en la solución.

Pero, si tenemos el símbolo mayor o igual o menor o igual que, entonces se incluyen los números que componen la línea, por lo que trazamos una línea continua. Entonces, ¿qué tipo de símbolo tenemos en nuestro caso? Tenemos un mayor que, por lo que significa que nuestra línea está discontinua.


La línea
graficar la desigualdad

Sombreado del gráfico

¡Todavía no hemos terminado! Lo sé, normalmente lo estaríamos. ¡Pero estamos lidiando con una desigualdad, después de todo! ¿Observa cómo nuestra desigualdad cuadrática nos dice que la solución incluye todos los valores mayores que la función? Entonces, para terminar de graficar y resolver nuestra cuadrática, necesitamos averiguar dónde sombrear nuestra gráfica para decirnos cuáles son nuestras soluciones.

¿Sombreamos por encima o por debajo de la línea? ¿Qué nos dice exactamente el símbolo mayor que? Este símbolo nos dice que las soluciones son todos aquellos valores de y que son mayores que los valores de y de nuestra línea. ¿Responde esto a nuestra pregunta de dónde sombrear? ¡Sí, lo hace! Nos dice que sombreemos por encima de la línea, ya que son esos números los que tienen un valor de y mayor que nuestra línea.

Podemos probar esto eligiendo un punto aleatorio sobre la línea. Digamos, comparemos el punto (0, 5) con el punto (0, 3). ¿Qué punto tiene un valor de y mayor ? Es el punto (0, 5), que está por encima de la línea. Entonces, sombreamos esa parte de nuestro gráfico, ¡y listo! Todas nuestras soluciones se muestran ahora en este gráfico.


La gráfica
graficar la desigualdad

Resumen de la lección

Ahora que hemos terminado, repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que una desigualdad cuadrática es una función cuyo grado es 2 y donde la y no siempre es exactamente igual a la función. En lugar de un signo igual para nuestra función, tenemos símbolos de desigualdad. Estos símbolos incluyen el símbolo menor que, el símbolo mayor que, el símbolo menor o igual que y el símbolo mayor o igual que.

Sabemos que todas las cuadráticas se grafican en una parábola de algún tipo. La diferencia entre una gráfica de una desigualdad cuadrática y la de una cuadrática regular es que nuestra gráfica tiene sombreado y nuestra línea puede ser diferente. Trazamos los puntos de la misma manera que lo haríamos con una cuadrática regular. Pero nuestra línea será discontinua si nuestros símbolos son el símbolo menor o mayor que; de lo contrario, la línea es sólida.

Si nuestro símbolo es el símbolo mayor que o el símbolo mayor o igual que, sombreamos la parte del gráfico que está por encima de la línea. Si nuestro símbolo es el símbolo menor que o el símbolo menor o igual que, sombreamos la parte del gráfico que está debajo de la línea.

Los resultados del aprendizaje

Analice la información de esta lección para:

  • Definir desigualdad cuadrática
  • Trazar puntos en un gráfico
  • Explica cómo graficar la línea.
  • Recuerde dónde sombrear un gráfico

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