Ecuaciones paramétricas
Imagínese una serpiente de dos cabezas abriéndose paso por un jardín y podrá ver cómo, aunque la serpiente tiene dos cabezas, sigue siendo una sola. Todavía se desliza sin esfuerzo por el jardín con precisión. Las ecuaciones paramétricas son como esa serpiente de dos cabezas.
Las ecuaciones paramétricas definen una ecuación en dos o más variables con una sola variable llamada parámetro. La mayoría de las veces, se verán las ecuaciones paramétricas que definen las ecuaciones con dos variables, por lo general X e Y . Si nuestra x y y ecuación como x ^ 2 + y ^ 2 = 1 es como nuestra serpiente, entonces nuestros dos cabezas son las ecuaciones paramétricas de x = sin (t) y y = cos (t) para la misma ecuación.
Sí, las ecuaciones paramétricas x = sin (t) e y = cos (t) describen la misma ecuación que x ^ 2 + y ^ 2 = 1 . Entonces, aunque tenemos dos ecuaciones, todavía funcionan juntas al unísono como la serpiente de dos cabezas que se desliza por el jardín.
Graficar ecuaciones paramétricas
Al igual que con otras ecuaciones en matemáticas, también queremos poder graficar ecuaciones paramétricas. Usaremos las mismas coordenadas cartesianas a las que estamos acostumbrados. Sin embargo, los pasos para graficar ecuaciones paramétricas son un poco más complicados.
La mejor manera de graficar ecuaciones paramétricas es encontrar una manera de eliminar el parámetro y obtener las ecuaciones atrás a x e y forma. Una vez que tenemos nuestra única x e y ecuación, entonces podemos seguir adelante y representar gráficamente nuestra ecuación como hacemos habitualmente, usando todas las técnicas de representación gráfica que hemos aprendido.
Centro de Masa y Centro de Gravedad: Definición y ecuaciones
Si no podemos eliminar el parámetro, nuestra otra opción es calcular algunos puntos diferentes y luego graficar esos puntos en nuestro gráfico. Esto es similar a graficar nuestras ecuaciones habituales al encontrar una serie de puntos y luego trazar esos puntos para ver qué tipo de forma toma nuestra gráfica. Sin embargo, para las ecuaciones paramétricas, conectamos diferentes valores de t para encontrar nuestros valores de x e y .
Eliminar el parámetro
Echemos un vistazo a cómo podemos eliminar el parámetro. Veamos las ecuaciones paramétricas de x = t + 1 e y = 3t . Al observar este par de ecuaciones, podemos seguir adelante y eliminar el parámetro resolviendo x = t + 1 por t y luego sustituyéndolo en y = 3t . Resolviendo x = t + 1 para t , obtenemos t = x – 1 . Sustituyendo esto en y = 3t , obtenemos y = 3 (x – 1) = 3x – 3 . Así que nuestro X e Y ecuación es y = 3x – 3 .
Si bien no lo necesitamos aquí, a veces necesitamos usar otras identidades matemáticas, como identidades trigonométricas, para ayudarnos a eliminar el parámetro. Por ejemplo, comparando x ^ 2 + y ^ 2 = 1 con la identidad trigonométrica sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) = 1 , vemos que las ecuaciones paramétricas son x = sin (t) e y = cos (t) .
La gráfica
Al observar esta ecuación ( y = 3x – 3 ), vemos que es una ecuación escrita en forma pendiente-intersección. Tiene una intersección con el eje y de -3 y una pendiente de 3. Podemos graficar esto fácilmente usando las habilidades gráficas que ya conocemos. Obtenemos un gráfico de línea recta:
 |
Puede pensar que hemos terminado, pero hay una cosa más que debemos hacer. Mira, los gráficos paramétricos son direccionales, lo que significa que viajan en una dirección. Al igual que nuestra serpiente es direccional y viaja hacia adelante, nuestro gráfico paramétrico también viaja hacia adelante. Sin embargo, tenemos que encontrar el camino a seguir.
Teoría de la relatividad: definición, ecuaciones y ejemplos
Para hacer esto, calculamos algunos puntos para ver en qué dirección viaja nuestra gráfica. Volvemos a nuestras ecuaciones paramétricas y conectamos valores crecientes para t . Comenzamos con t = 0. Obtenemos x = 0 + 1 = 1 e y = 3 * 0 = 0 . Luego, hacemos t = 1. Obtenemos x = 1 + 1 = 2 e y = 3 * 1 = 3 . Entonces, para t = 0, tenemos el punto (1, 0). Para t = 1, la gráfica se movió al punto (2, 3). Esto nos dice que nuestra gráfica se mueve hacia la derecha. Ahora podemos colocar flechas en nuestro gráfico que nos indiquen la dirección.
 |
Ahora hemos terminado.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido:
Aprendimos que las ecuaciones paramétricas definen una ecuación en dos o más variables con una sola variable llamada parámetro. Al igual que con otras ecuaciones en matemáticas, queremos graficarlas. Sin embargo, graficar ecuaciones paramétricas es un poco más complicado. El paso adicional viene porque tenemos dos o más ecuaciones para graficar como una.
Lo que queremos hacer primero es eliminar nuestro parámetro devolviéndonos a nuestras ecuaciones habituales que sabemos graficar. Para hacer esto, podemos resolver una de nuestras ecuaciones paramétricas para una variable y conectarla a la otra ecuación para encontrar nuestra única ecuación. Luego podemos seguir adelante y graficar esa ecuación.
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
Si no podemos eliminar el parámetro, seguimos adelante y comenzamos a calcular puntos introduciendo diferentes valores de t . Una vez que tenemos nuestro gráfico, necesitamos encontrar en qué dirección va nuestro gráfico. Para hacer esto, calculamos diferentes valores crecientes de t para averiguar en qué dirección va nuestra gráfica. Luego etiquetamos nuestro gráfico con flechas para marcar su dirección. Entonces, ¡hemos terminado!
Los resultados del aprendizaje
Haga lo siguiente después de ver esta lección en video sobre gráficas de ecuaciones paramétricas:
- Dar la definición de ecuaciones paramétricas
- Graficar ecuaciones paramétricas
- Explica por qué es necesario agregar una dirección a una gráfica paramétrica y comprende cómo hacerlo.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
