Hallar el extremo relativo de una función: problemas de práctica y explicación

Introducción

¿Dónde está la mejor pizza? Depende de a quién le preguntes, ¿verdad? Cuando pienso en la mejor pizza, en realidad solo pienso en la mejor de mi ciudad o barrio. Digamos que es ‘Bob’s Pizza’. Así que Bob’s podría tener la mejor pizza de todas las pizzerías cercanas a mí, pero no la mejor pizza del planeta. En relación con mi ubicación, la pizza de Bob es un máximo .

Definiciones

Un máximo relativo es un punto en el que una función alcanza su valor más alto en relación con los puntos cercanos. Visualmente, esto ocurre en cualquier «pico» en el gráfico de la función.

De manera similar, un mínimo relativo es un punto en el que una función alcanza su valor más bajo en relación con los puntos cercanos.

Juntos, los máximos relativos (plural de máximo) y mínimos (plural de mínimo) se conocen como extremos relativos de la función. (Todas esas palabras raras están en latín, pero no se preocupe, ¡no conjugaremos ningún verbo hoy!) Una función dada podría tener muchos extremos. Cualquier pico o valle en el gráfico cuenta.

¡Las gráficas de sin (x) y cos (x) tienen infinitos máximos y mínimos relativos!

Como probablemente pueda imaginar, este tipo de puntos son de interés en una variedad de entornos. Por ejemplo, si su empresa tiene una función que modela sus ganancias en función de la cantidad de unidades que produce, ¡ciertamente le interesarían los puntos más altos de esa función!

Encontrar extremos relativos

La clave para encontrar estos puntos es este hecho: si f (x) es una función suave y agradable (sin cortes ni esquinas), entonces en cualquier máximo o mínimo ( extremo ), cuando el gráfico está girando, debe haber una tangente horizontal en ese punto. Y esto significa que el valor de la derivada será cero en ese punto, porque una tangente horizontal tiene pendiente igual a 0.

Hay extremos relativos en cada punto donde la gráfica tiene una tangente horizontal.

Ejemplo 1

Hagamos un ejemplo: encuentre el máximo y mínimo relativo de la función

Esta es la función cuyo gráfico se muestra cerca de la parte superior de este artículo. La función ‘máximo’ o ‘mínimo’ en el menú CALC de su confiable calculadora de Texas Instruments le diría que el máximo y el mínimo ocurren alrededor de x = -0.577 yx = 0.577 respectivamente. Sin embargo, nuestras habilidades para encontrar derivadas nos ayudarán a encontrar exactamente dónde se encuentran estos puntos. Existe un método sencillo de 3 pasos.

• Paso 1: Encuentra la derivada de f .

Recordando la regla de la potencia para las derivadas, encontramos que:

• Paso 2: Iguala la derivada a cero y resuelve para x (esta parte es solo álgebra).

• Paso 3: Si el problema pregunta por los puntos en los que ocurren los extremos, entonces tenemos que encontrar los valores de y en cada uno de estos puntos conectando nuestros valores de x en f (x) .

¡Y ahora sabemos dónde ocurren los extremos relativos en este gráfico! Hagamos otro.

Ejemplo 2

Encuentre el mínimo relativo de f (x) = x ln ( x ).

• Paso 1: Vamos a necesitar la regla del producto de las derivadas para encontrar f ‘(x) , y no olvide que la derivada de ln ( x ) es 1 / x .

• Paso 2: Ahora establezca f ‘(x) igual a cero y resuelva para x .

Nota, 1 / e es igual a .3678794412 …

• Paso 3: Encuentra el valor de y .

Por lo tanto, el mínimo relativo ocurre en (aproximadamente) el punto (0.368, -0.368).

Resumen de la lección

Extremos relativos es un término elegante para los puntos máximo y mínimo de un gráfico, en relación con los puntos cercanos. Para encontrar los valores exactos (coordenadas) de estos puntos, utilice el proceso de tres pasos:

• Paso 1: Encuentra la derivada de f .
• Paso 2: Iguala la derivada a 0 y resuelve para x .
• Paso 3: Encuentre los valores de y conectando cada valor de x en la función original f .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador