Identificación de secciones cónicas: forma general y forma estándar

Secciones cónicas

Imagina uno de esos conos de tráfico de color naranja brillante que ves en la carretera. Ahora, si tuviera que cortar ese cono único en diferentes ángulos, verá que puede terminar con varias formas planas únicas diferentes. Obtienes círculos, elipses y parábolas. Y si pega dos conos de tráfico de punta a punta y los corta a través de ambos, obtendrá una hipérbola. Las formas que se obtienen al cortar un cono se denominan secciones cónicas .

En la imagen de arriba, el cono número uno es la parábola . Parece una curva en U. En el número dos, el corte inferior le da un círculo , una forma redonda donde cualquier punto en el borde está a la misma distancia de un punto central. El corte superior en el número dos es la elipse , que es un círculo alargado o un óvalo. El corte en el número tres corta a través de ambos conos hacia abajo, y esto le da una hipérbola , dos parábolas iguales que parecen imágenes especulares una de la otra.

Y, por supuesto, como se trata de matemáticas, tienes fórmulas para todos ellos. Esta es la fórmula general para las secciones cónicas que cubre todas las formas de sus cortes:

En la fórmula, A, B, C, D, E y F son todas constantes. Esta forma general cubre las cuatro formas planas únicas. Los valores de estas constantes ayudan a determinar la forma. Pero no puede usar la forma general para determinar la forma. Solo lo sabrá cambiando la forma general a una forma estándar completando el cuadrado para las variables x e y .

Para completar el cuadrado, reescribe la forma general para que todos los términos x estén juntos y todos los términos y estén juntos. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación. Luego completa el cuadrado para los términos xy la ytérminos, pero recuerde mantener la ecuación equilibrada. Lo que sea que sumes o restes en un lado, también debes hacerlo en el otro. Entonces, si agrega 100 en el lado izquierdo, también debe agregar 100 en el lado derecho. Luego haz un poco más de matemáticas (divide todo por la constante de la derecha) para que termines con uno en el lado derecho. Es posible que desee cambiar los denominadores del lado izquierdo para que se expresen como cuadrados. Una vez que tenga la ecuación en forma estándar, puede determinar si es un círculo, elipse, parábola o hipérbola.

A continuación se muestra un ejemplo de cómo completar el cuadrado para convertir de la forma general a la forma estándar.

Ahora que ha cambiado de forma general a forma estándar, puede averiguar qué tipo de forma es.

Circulo

Si es un círculo, el formulario estándar seguirá este formulario:

El centro del círculo está en el punto ( h, k ) del plano de coordenadas. El radio del círculo es r .

Debido a que el círculo tiene el radio como denominador tanto para los valores de x como de y , puedes escribir la forma estándar de un círculo de dos maneras, ya sea manteniendo el término r en el denominador del lado izquierdo o moviéndolo al lado derecho.

Ahora, si compara la ecuación que acaba de cambiar (de la forma general a la forma estándar) con la forma estándar de un círculo, verá que es un círculo. Sigue la forma estándar de un círculo.

Elipse

La forma estándar de una elipse sigue esta forma:

El centro de la elipse es el punto ( h, k ) al igual que con el círculo. Dado que la elipse es un círculo alargado, la a te dice cuánto mide tu elipse en la dirección x si la multiplicas por 2 (2 a ) y la b te dice cuánto mide tu elipse en la dirección y si la multiplicas por 2 (2 b ).

Parábola

Una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo tiene esta forma estándar:

El vértice de la parábola es el punto ( h, k ). La p nunca será igual a 0. El foco de la parábola está ubicado en el punto ( h, k + p ). Su directriz está dada por la recta y = k – p . Y, el eje de la parábola es la recta x = h . Las parábolas también pueden abrirse hacia la izquierda o hacia la derecha. Esa ecuación intercambia x e y y h y k .

Hipérbola

Para una hipérbola que se abre hacia arriba o hacia abajo, la forma estándar es la siguiente:

El centro de la hipérbola es el punto ( h, k ). Como la hipérbola está formada por dos parábolas, tendrá dos vértices y dos focos. Similar a una parábola, una hipérbola también puede abrirse de izquierda a derecha. Esa ecuación también intercambia la x y y y h y k .

La clave para averiguar qué forma tiene es mirar donde el X y Y. términos son y lo que se añade o se resta de qué. Además, observe los denominadores para ver si a y b son iguales que para el círculo. Si lo son, entonces son el radio de su círculo.

Resumen de la lección

Dediquemos unos momentos a recapitular lo que aprendimos en esta lección sobre cómo identificar secciones cónicas. Una sección cónica es la forma plana que se obtiene cuando se corta un cono. Hay cuatro formas planas únicas.

La ecuación de forma general para todas las secciones cónicas es:

Para averiguar qué forma tiene, debe completar el cuadrado y ver qué ecuación de forma estándar coincide con su ecuación.

La ecuación de forma estándar para un círculo , o una forma redonda donde cualquier punto del borde está a la misma distancia de un punto central, es:

La ecuación de forma estándar para una elipse , un círculo alargado o un óvalo, es:

La ecuación de forma estándar para una parábola , una curva en U, es:

La ecuación de forma estándar para una hipérbola , que son dos parábolas consecutivas, es: