Intervalos de confianza para muestras individuales: definición y ejemplos

¿Qué es un intervalo de confianza?

Sam está investigando cuánta televisión ven los niños pequeños en su ciudad. Como parte de este proyecto, envía encuestas a padres de toda la ciudad y recibe 15 encuestas de padres con niños de 3 a 5 años. Utilizando la información reportada en las encuestas, calcula que, en su muestra, el número medio de horas que los niños de 3 a 5 años pasan viendo televisión cada día es 2,43, con una desviación estándar de 0,50.

Debido a que solo recopiló datos de una muestra aleatoria de niños, la media muestral que calculó puede representar o no con precisión la media real de la población. Decide construir un intervalo de confianza para obtener una mejor estimación de la media real de la población. Un intervalo de confianza es un rango en el que puede esperar que se encuentre el parámetro de población.

Al hacer un intervalo de confianza, puede elegir exactamente qué tan seguro desea tener de que el rango contiene la media de la población. Por ejemplo, si elige construir un intervalo de confianza del 95%, esto significa que si elige datos al azar 100 veces y construye intervalos de confianza para cada uno, 95 de cada 100 veces la media de la población se ubicaría en algún lugar dentro del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza cuando se desconoce la desviación estándar de la población

Hay dos distribuciones estadísticas que se pueden utilizar al calcular los intervalos de confianza. Si solo conoce la desviación estándar de la muestra y no la desviación estándar de la población, entonces debe usar la distribución T de Student para construir un intervalo de confianza.

La puntuación t depende del nivel de confianza que haya seleccionado, así como de los grados de libertad del experimento. El número de grados de libertad (DOF) es siempre uno menos que el número de mediciones ( n ) de la muestra.

DOF = n – 1

Puede calcular la puntuación t usando una calculadora gráfica o un programa de computadora como Excel. También puede utilizar una tabla T para buscar la puntuación. Para usar la tabla T, encuentre los grados de libertad para el experimento y el intervalo de confianza deseado (asegúrese de estar mirando la distribución de dos lados). La intersección de estos le dará la puntuación t deseada.

Mesa en T de dos lados para niveles de confianza comunes

En el experimento de Sam, recopiló 15 encuestas, por lo que el DOF en este experimento es 14. Si observa la tabla T, puede ver que la puntuación t que necesita usar es 2.145.

Una vez que ha determinado el apropiado t -score, puede utilizar esto, junto con la desviación estándar de la muestra ( s ) y el tamaño de la muestra ( n ), para calcular el error con destino a la media ( EBM ).

Finalmente, el intervalo de confianza del 95% se construye sumando y restando este valor de la media muestral calculada (2,43).

Sam ahora puede tener un 95% de confianza en que la media real de la población se encuentra entre 2,15 horas y 2,71 horas.

Intervalo de confianza cuando se conoce la desviación estándar de la población

¿Qué pasa si Sam SABE que la población está distribuida normalmente y que la desviación estándar de la población también es 0.50? En ese caso, podría usar una distribución normal para construir un intervalo de confianza. La distribución normal se puede utilizar en los casos en que el tamaño de la muestra es muy grande o se conocen la distribución de la población y la desviación estándar.

En ese caso, en lugar de determinar la puntuación t apropiada, necesitaría utilizar la puntuación z . Al igual que el t -score, esto se puede calcular usando una calculadora gráfica o un programa de computadora, o se puede buscar en una tabla.

Puntajes Z asociados con los niveles de confianza más comunes

Para un intervalo de confianza del 95%, la puntuación z asociada es 1,96. Esta puntuación z se puede utilizar para calcular la EBM .

Para los datos de Sam, la EBM que usa la puntuación z en lugar de la puntuación t sería 0,25.

Esto significa que el nuevo intervalo de confianza sería (2,43 – 0,25, 2,43 + 2,5), que es igual a (2,18, 2,68). Este intervalo de confianza es similar al construido usando el t -score, pero no es exactamente el mismo.

Resumen de la lección

Un intervalo de confianza es un rango de valores en el que se cree que se encuentra la media real de la población. El nivel de confianza determina qué tan probable es que la media de la población se encuentre en algún lugar dentro del intervalo de confianza. Para construir un intervalo de confianza, primero determine si necesita usar la distribución T de Student o la distribución normal. Si se conoce la desviación estándar de la población o la muestra es grande, puede usar la distribución normal. Para muestras pequeñas y casos en los que solo se conoce la desviación estándar de la muestra, debe utilizar la distribución T.

En ambos casos, determine el puntaje z o el puntaje t usando una calculadora, computadora o tabla de valores. Luego, use esto para calcular el límite de error para la media. El límite inferior del intervalo de confianza es la media menos la MBE, y el límite superior del intervalo de confianza es la media más la MBE.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador