La propiedad distributiva y los exponentes negativos

¿Qué son la propiedad distributiva y los exponentes negativos?

Aunque pueden dar miedo, los exponentes en álgebra son geniales. Por lo general, son números pequeños, fáciles de trabajar y, una vez que conoces algunas reglas, pueden convertirse en la parte divertida de simplificar y resolver expresiones racionales (que contienen tanto un numerador como un denominador). Dado que los exponentes son solo una forma especial de multiplicación, encajan perfectamente en la propiedad distributiva.

Los exponentes negativos son solo una forma de tomar el recíproco de un número (cambia el numerador y el denominador).

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma dice que si tienes un factor común en una expresión (todos los términos tienen el mismo factor), puedes extraer ese factor y aplicarlo a todos los términos como grupo. Por otro lado, siempre puede volver a multiplicarlo y aplicarlo a cada término por separado.

Muy bien, ahora estamos listos para la acción. Veamos cómo interactúa la propiedad distributiva con exponentes negativos.

Exponentes negativos en la propiedad distributiva

Juguemos un poco con esta idea. Eche un vistazo a la siguiente expresión:

Parece un poco complicado, pero podemos divertirnos un poco con esta expresión. Expresemos el denominador como exponente negativo en cada término.

Observa cómo sacamos la z del denominador y la convertimos en un factor en cada término. Expresado así, podemos ver cómo podríamos usar la propiedad distributiva para sacarla de ambos términos y dejarla a un lado.

Ahora es mucho más fácil simplificar lo que queda. Los términos x en realidad se cancelarán (uno es positivo y el otro es negativo) y terminará con solo 2 y .

Ahora podemos volver a poner la z , mostrando el resultado final.

Ahora trabajemos en un problema de simplificación que tiene exponentes negativos.

Primero aplicaremos el factor de grupo a ambos términos dentro del paréntesis (¡está nuestra Propiedad Distributiva en operación!).

Reorganicemos los factores (agrupemos los números y las variables similares) dentro de cada término para que quede más claro lo que debemos hacer con ellos.

Ahora podemos combinar los exponentes y simplificar los términos x .

¡Todo bien! Las cosas se están volviendo mucho más simples ahora.

¡Observe cómo los exponentes se combinaron e incluso se cancelaron entre sí! Cuando se sienta cómodo con exponentes negativos, simplificar expresiones como esa puede ser mucho más fácil.

¡Echemos un vistazo a uno más extraño! Primero trabajaremos con los denominadores, para que estén resaltados en rojo.

De acuerdo, cada vez que estés viendo un desastre como este, tienes que simplificar y ordenar las cosas. Comencemos por deshacernos de todos los denominadores. Cada variable en un denominador ahora se convertirá en una variable con un exponente negativo.

Bueno, no se ve mucho mejor, pero seguiremos trabajando. Centrémonos en el factor fuera del paréntesis:

Usemos nuestra propiedad distributiva para poner el término exterior entre paréntesis. Es como pegamento, solo los pegas al final y luego los arreglas.

Bien, ahora combinemos los exponentes de nuestras variables.

Cada una de esas 0 variables de exponente es en realidad solo un 1, así que reemplácelas con un 1.

Una vez que volvamos a colocar la variable con un exponente negativo en el denominador, terminamos.

Una vez que conozca las reglas, podrá manejar casi cualquier problema de propiedad distributiva que le puedan plantear.

Resumen de la lección

Combinar exponentes negativos con la propiedad distributiva es bastante fácil, si aprendes algunas reglas simples. Los exponentes negativos son una forma de indicarle que tome el recíproco de un número o fracción. Por lo tanto, los exponentes negativos harán que un número cambie de lado en una expresión racional: la parte superior se moverá hacia la parte inferior o la parte inferior se moverá hacia la parte superior. La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma dice que un factor que se multiplica por un grupo de términos es lo mismo que el factor que se multiplica por cada término individualmente.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador