El ortocentro
Si tuvieras que encontrar el centro de un triángulo, ¿cómo lo harías? Bueno, dependería del centro que estuvieras intentando encontrar. Sí, hay más de un centro en un triángulo. De hecho, hay muchos, muchos centros, pero hay cuatro que se discuten con mayor frecuencia: el circuncentro, el incentro, el centroide y el ortocentro. El centro que vamos a discutir en esta lección es el ortocentro.
Definiciones
Comencemos con una definición básica del ortocentro. El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres altitudes de un triángulo. Dado que un triángulo tiene tres vértices, también tiene tres altitudes. Una altitud se define como un segmento perpendicular dibujado desde el vértice de un triángulo hasta la línea que contiene el lado opuesto. Un punto de concurrencia es el punto de intersección de tres o más líneas.
Propiedades y diagramas
Hay tres tipos de triángulos con respecto a los ángulos: agudo, recto y obtuso. Cuando hablamos del ortocentro de un triángulo, el tipo de triángulo tendrá un efecto sobre el lugar donde se ubicará el ortocentro. Eche un vistazo a los siguientes diagramas. Normalmente, esperaríamos que el centro de un triángulo estuviera dentro de él. De hecho, el ortocentro siempre estará dentro de un triángulo agudo.
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Sin embargo, el ortocentro está en un triángulo rectángulo (específicamente en el vértice del ángulo recto). La única forma de dibujar un segmento desde el punto B al punto C es viajar a lo largo de uno de los lados del triángulo. Lo mismo ocurre cuando se pasa del punto A al punto C.
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Finalmente, el ortocentro estará fuera de un triángulo obtuso (específicamente opuesto al lado más largo). La única forma de dibujar un segmento desde el punto B hacia el lado opuesto y también perpendicular es extender el lado AC. Lo mismo ocurre cuando se dibuja el segmento desde el punto A hasta el lado BC. Esto obliga al punto de concurrencia a estar fuera del triángulo.
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Características especiales
Vale la pena mencionar que el ortocentro tiene algunas conexiones importantes con los otros centros comunes de un triángulo. Siempre es colineal , en la misma línea recta, con el circuncentro y el centroide. Esta línea se denomina línea de Euler. El centroide siempre estará entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia del centroide al ortocentro siempre será el doble de la distancia del centroide al circuncentro. Además, si el triángulo es equilátero, los cuatro centros comunes estarán exactamente en la misma ubicación.
Ejemplo
Tenemos un triángulo con vértices A en (-2, 0), B en (4, 0) y C en (3, 5). Encuentra el ortocentro.
Puedes ver en este diagrama que el triángulo es agudo. Debe esperar que el ortocentro esté ubicado dentro del triángulo.
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La pendiente del lado AC = 5/5, que es igual a 1/1. Por tanto, la pendiente de la altitud desde el punto B hasta el lado AC sería -1/1.
La pendiente del lado BC = -5/1; por lo tanto, la pendiente de la altitud desde el punto A hasta el lado BC sería 1/5.
La altitud desde el punto C al lado AB debe ser vertical ya que el lado AB está en el eje x , lo que lo hace horizontal.
Las tres altitudes se cruzan en el punto (3, 1).
Resumen de la lección
El ortocentro es uno de los cuatro centros más comunes de un triángulo. Está ubicado en el punto donde se cruzan las tres altitudes del triángulo, llamado punto de concurrencia . El ortocentro está ubicado dentro de un triángulo agudo, en un triángulo rectángulo y fuera de un triángulo obtuso. Encontrarlo en un gráfico requiere calcular las pendientes de los lados del triángulo. Luego, usa el recíproco opuesto de cada pendiente para graficar cada altitud.
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