Pasos y ejemplos de división sintética

Publicado el 4 octubre, 2021

¿Qué es la división sintética?

La división sintética es un método simplificado de dividir un polinomio por otro polinomio de primer grado. Esto se hace usando solo los coeficientes de las diferentes potencias de la variable y tomando el valor cero de la ecuación binomial para determinar los coeficientes del cociente. En otras palabras, la división sintética se define como una forma rápida de dividir un polinomio por otro polinomio con un coeficiente x de 1 y con un grado de uno, es decir, un binomio , como {eq} x-3 {/ eq} . Estos binomios también se conocen como ecuaciones lineales porque las líneas rectas tienen una fórmula donde x está en el primer grado.

Mientras está en el proceso de división larga, el divisor está a la izquierda de un símbolo de división larga. El cociente se determina encontrando secuencialmente factores relevantes, incluidas las variables, y restando. La división larga sintética solo usa los coeficientes y la suma. Una de las definiciones de sintético es: creado para circunstancias especiales. La división por un binomio de grado uno, o {eq} xa {/ eq} es una circunstancia tan especial.

Fórmula de división sintética

Entonces, la división sintética de polinomios solo se aplica cuando se divide un polinomio con un grado mayor que 1 por un divisor {eq} xa {/ eq}. Esto resultará en un cociente y un resto divididos por {eq} xa {/ eq}.

Si, por ejemplo, se conocen las raíces cero, como, por ejemplo, 2 y -3, los dos factores binomiales serían x-2 y x + 3 , y su producto sería {eq} x ^ 2 + x- 6 {/ eq}, sin resto, y cualquiera de los binomios divididos en este polinomio produciría el otro binomio. Entonces tenemos cualquier polinomio p (x) dividido por un binomio b (x) , donde b (x) = xa , lo que nos da un cociente q (x) más el resto {eq} \ dfrac {r} {xa} {/ eq}. Si el coeficiente del polinomio se divide por la raíz, o cero, de la función (xa) , o a , entonces no habrá resto.

Diferencia entre la división sintética del polinomio y la división larga del polinomio

Recordando la división larga de polinomios, el problema se plantea como un problema de división regular, con paréntesis de división larga, y luego cada término del cociente se calcula paso a paso. Por ejemplo, en este problema, configuramos el siguiente problema de división {eq} \ dfrac {{2x ^ 3} + x ^ 2-7x-6} {x-2} {/ eq} como

Un ejemplo de división larga

Ejemplo de división larga

Cada parte del cociente se calcula paso a paso determinando cuántas veces la variable del divisor se puede dividir en un término posterior del dividendo. Luego, estos valores se restan uno por uno, y el siguiente se reduce y se vuelve a dividir hasta que se determinan todos los números.

Pero usando la versión abreviada, división sintética, el problema se verá así:

Ejemplo de división sintética

Problema de división larga en forma taquigráfica

Aquí tenemos un paréntesis, sin insight de variables, y de alguna manera esto produce los coeficientes del cociente, e incluso el resto cuando es aplicable.

Pero, ¿cómo llegó a parecer tan simple?

¿Cómo hacer división sintética?

La división sintética usa solo los coeficientes de las variables. Entonces, por ejemplo, mirando el problema de división larga, el coeficiente del primer término es 2, luego el siguiente 5, luego el último, 3. Es la misma forma de pensar, excepto que en lugar de dividir números y restar factores, la división sintética es en realidad multiplicación y suma.

Factorización por división sintética

La clave para la factorización por división sintética es mirar el divisor. Recuerde, esto sólo funciona si el coeficiente y el grado de x son 1. Si el divisor xa , un ser cualquier número distinto de cero, el cero de esta ecuación es -a . Entonces, para x-3 , el cero es 3. Para x + 4 , el cero es -4. Cualquiera que sea el número que haga que esta ecuación sea igual a cero, ese es el valor cero.

Pasos para la división sintética

Ahora, observe los pasos de la división sintética . Se establece una mesa, con el cero del divisor colocado primero. En este ejemplo, es 2. Este es siempre el opuesto de la una valor. La ecuación es x-2 , el número a usar es +2.

Primero, dibuja una barra vertical y luego escribe solo los coeficientes del polinomio. Deje una línea abierta debajo de este conjunto de números y coloque una línea debajo de eso. El primer paso siempre es colocar el primer número en el lado derecho de la barra por debajo de la línea horizontal. Aquí eso es 2. Multiplica ese 2 por el “divisor” 2, y escribe cuatro sobre el subrayado pero debajo del siguiente número a la derecha de 2. Aquí es 1.

Sume el 1 y el 4. Esto produce 5. Escriba 5 a la derecha del 2 más bajo. Luego multiplique cinco veces el divisor 2, que da 10, y escríbalo debajo del -7.

Suma esos dos, y eso es 3. Escribe eso a la derecha del 5, luego multiplica por el divisor 2, obtén 6, escribe eso directamente debajo del -6, suma esos dos y escribe un cero al final de la parte inferior. línea. Los primeros tres números de la línea inferior son los coeficientes del cociente, y el último número es el resto, felizmente cero.

La potencia de la primera variable siempre será uno menos que la ecuación original y la variable para cada coeficiente subsiguiente será un grado menor. Entonces, la respuesta es {eq} 2x ^ 2 + 5x + 3 {/ eq} con el resto cero. Tan simple, casi mágico.

Ejemplos de división sintética

Ahora, en más ejemplos, con algunos casos y posibilidades diferentes. El primer problema quedará restante.

{eq} \ dfrac {6x ^ 2 + 3x + 2} {x-1} {/ eq}

Al configurar el problema, el cero es +1.

Ejemplo de división sintética con resto

División sintética con resto

Siguiendo los pasos descritos anteriormente, coloque los primeros 6 por debajo de la línea. Multiplica por el divisor, que es 1, y coloca el 6 debajo del 3. Sume esos dos números y escribe 9 debajo del 6, debajo de la línea. Luego multiplique el 9 por 1, obtenga 9, colóquelo debajo del 2, sume, y el resultado es 11, que está escrito al final. Entonces, el cociente será {eq} 6x + 9 {/ eq}, con el resto {eq} \ dfrac {11} {x-1} {/ eq}.

Ahora, considere un problema más largo, esta vez con un título faltante.

{eq} \ dfrac {2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 5x + 5} {x + 1} {/ eq}

División sintética donde falta una potencia

División sintética con un coeficiente faltante

A partir del divisor, se determina que el cero es -1. de modo que se coloque fuera del soporte. Luego configure el gráfico. El primer coeficiente del dividendo es 2, el segundo es 2, pero falta el término {eq} x ^ 2 {/ eq} Así que escribe un cero para ese coeficiente. Los dos números siguientes son ambos 5. Suelta los dos primeros debajo de la línea horizontal. Multiplique eso por -1, coloque el -2 debajo del segundo 2 de la primera línea. Sumarlos produce un cero. Restar cero de cero es cero, multiplicar cero por -1 también produce un cero, por lo que hay un cero debajo del 0 de la primera línea y debajo del primer número 5. Allí, sume 5 a cero, escriba 5 debajo de la línea, multiplique por -1, luego escriba -5 debajo de los últimos 5, y el último número en la línea inferior también es cero, o sin resto. Entonces el cociente resultante es

{eq} 2x ^ 3 + 0x ^ 2 + 0x + 5 {/ eq}, o

{eq} 2x ^ 3 + 5 {/ eq}

Considere un problema final:

{eq} \ dfrac {2x ^ 5 + x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x + 3} {x + 2} {/ eq}. El cero del binomio es -2, luego tomando los coeficientes, resulta en la siguiente tabla y solución.

División larga sintética algo más complicada con resto

División larga sintética con resto

Nuevamente, nunca olvide verificar el signo del divisor e incorporarlo en todos los cálculos. Entonces, comience reduciendo el 2, luego multiplíquelo por -2, obtenga -4. Agregue eso al 1, escriba -3 debajo del -4. Multiplicar -3 por -2 produce +6. +6 sumado a 2 da 8. 8 veces -2 es -16, sumado a 3 nos da -13. -13 veces -2 da +26, sumado a 2 da como resultado 28. 28 veces -2 da -56, sumado a tres, da un resto de -53. Entonces, el cociente final es {eq} 2x ^ 4-3x ^ 3 + 8x ^ 2-13x + 28 {/ eq} con un resto de {eq} \ dfrac {-53} {x + 2} {/ eq}

Resumen de la lección

Para resumir, la división sintética se puede dividir por polinomios sólo si uno de los factores es en forma xa , un ser cualquier número distinto de cero. Luego, usando la multiplicación y la suma, y ​​usando solo los coeficientes del dividendo y el cero del divisor, se determinan los coeficientes del cociente. Es una forma compacta de división larga, que produce el mismo resultado con mucho menos escritura.

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