Pendientes y tangentes en un gráfico

Colinas y pendiente

Al encontrar la pendiente, delta y es el cambio en la elevación y delta x es el cambio en la distancia

¿Qué es más un entrenamiento: correr en el centro de Chicago o correr en el centro de San Francisco? Ambas ciudades tienen tráfico y algunas vías fluviales fantásticas para disfrutar, ¡pero San Francisco tiene colinas muy empinadas!

Para tener una idea de qué tan empinada es una colina, podría tener sentido observar cuánto cambia la elevación en una distancia determinada. Esto se conoce como pendiente . Entonces, digamos en San Francisco que vas a cruzar una manzana que es como el monte. Everest. Podemos definir esto con algo llamado pendiente. Entonces, digamos que tenemos una colina donde la elevación aumenta 6 pies en una distancia de solo 2 pies. ¡Esto suena a territorio de cabras montesas! De hecho, esto significa que por cada pie que avanzamos, tenemos que subir 3 pies: 6 pies arriba / 2 pies adelante = 3 pies arriba por 1 pie adelante. Esta es nuestra pendiente, o cuánto cambia la elevación en una distancia de 1, y yo diría que es muy empinada.

En Chicago, digamos que la elevación cambia 5 pies en una distancia de 50 pies. Suena mucho más razonable. Ahora, esto significa que por cada pie que avanza, solo tiene que subir 0.1 pies, o un poco más de una pulgada, porque 5 pies arriba / 50 pies adelante = 0.1. Nuestra pendiente en Chicago es 0,1. Podríamos decir que en San Francisco si nuestra pendiente es 3, es muy empinada; es territorio de cabras montesas. En Chicago, nuestra pendiente es poco profunda; es muy pequeño. ¿Qué pasa si tenemos una pendiente negativa, como -4? Entonces tendríamos un cambio de elevación de -4 pies sobre una distancia de 1 pie. ¡Esa es una fuerte caída!

Pendiente como líneas en un gráfico

La línea del gráfico se mueve hacia abajo debido a una pendiente negativa.

Matemáticamente, podemos vincular todo esto a las líneas en un gráfico simplemente cambiando pies en puntos de coordenadas. Así que miremos nuestra empinada colina de cabras montesas. Llamaremos x la distancia a lo largo de la Tierra e y la elevación. Digamos que la base de la colina está en el punto (2,1) donde x = 2 y y = 1. Ahora la elevación de nuestra colina cambiará 6 pies hasta y = 7 mientras avanzamos 2 pies ax = 4. La cima de nuestra colina es (4,7). Así que vamos del punto (2,1) al punto (4,7). En general, calculará la pendiente entre dos puntos en un gráfico como estos. Sin embargo, para generalizar, escribiremos las coordenadas de estos puntos como ( x sub 1, ysub 1), para el primer punto, y ( x sub 2, y sub 2) para el segundo punto.

La pendiente, que llamaremos m , se define formalmente como delta y / delta x . Ahora, delta es la forma matemática de decir cambio. Entonces, delta y es el cambio en la elevación, y delta x es el cambio en la distancia, o qué tan adelante vamos a ir. Entonces podemos escribir nuestra pendiente como delta y / delta x , o ( y sub 2 – y sub 1) / ( x sub 2 – x sub 1). Podemos usar esta fórmula para calcular la pendiente entre (2,1) y (4,7). Voy a llamar (2,1) mi punto de inicio y (4,7) mi punto final. En este caso, 2 = x sub 1, 1 =y sub 1, 4 = x sub 2 y 7 = y sub 2. Entonces encontramos nuestra pendiente m = (7 – 1) / (4 – 2) = 6/2 = 3, ¡exactamente como se esperaba!

Encontremos la pendiente de la línea que conecta (1,8) y (5,6). Entonces, (1,8) será mi punto de partida y (5,6) será mi punto final. Nuevamente conectando nuestros puntos, nuestra pendiente m = delta y / delta x = ( y sub 2 – y sub 1) / ( x sub 2 – x sub 1) = (6 – 8) / (5 – 1) = -2 / 4 = -0,5 o -1/2. La pendiente es negativa, por lo que la línea de conexión desciende hacia la derecha. Esto es como cuando me caigo de la colina en lugar de la cabra montesa que viaja con gracia por la colina.

Pendiente de la recta dada por y = 2x + 4

¿Cuál es la pendiente de la recta dada por la ecuación y = 2 x + 4? Primero, grafiquemos esto trazando algunos puntos y conectándolos con una curva suave. Tengo los puntos (0,4), (1,6), (2,8). Ahora calculemos la pendiente entre los dos primeros puntos. La pendiente m = (6 – 4) / (1 – 0) = 2. ¿Qué pasa si calculamos la pendiente entre los dos últimos puntos? La pendiente m = (8 – 6) / (2 – 1) = 2. ¡Las pendientes son las mismas! Bueno, eso tiene sentido porque el gráfico aquí es una línea recta.

Tangentes

¿Qué pasa con la pendiente de la curva dada por la ecuación y = x ^ 2? El gráfico de esta curva se ve así. La pendiente no tiene ningún significado aquí. ¿Calcularíamos la pendiente entre la parte inferior de la curva y un punto donde x es mayor que 1? ¿Menos que 1? Aquí la pendiente no tiene ningún significado en particular, entonces, ¿qué miramos en su lugar? Para gráficos que no son líneas rectas, no hay una pendiente única. En cambio, miramos algo llamado tangente. La tangente es la pendiente de una curva en un solo punto de esa curva. En cualquier punto de la curva, hay una línea que toca la curva, pero no la cruza. Aquí arriba, la tangente tiene una pendiente muy negativa y empinada. Aquí, es más superficial. Aquí, la pendiente de la tangente es cero.

Miremos la pendiente de las tangentes para otra ecuación. Aquí tenemos y = x * sin ( x ).

Gráfica de las tangentes para y = x * sin (x)

Imaginemos que estoy subiendo la pendiente de esta ecuación. Al principio, la pendiente es muy empinada, así que me está costando mucho subirla. A medida que me acerco a la cima de la colina, se vuelve un poco más fácil. Cuando llego a la cima de la colina, estoy parado allí y la pendiente de la tangente es cero. Me muevo hacia adelante y empiezo a ir cuesta abajo a medida que se nivela, y puedo quedarme allí. Puedo subir la segunda colina y volver a pararme antes de caer cuando la pendiente se vuelve muy empinada y negativa.

Resumen de la lección

La pendiente de una línea es un número que describe qué tan empinada es. Un número mayor corresponde a una pendiente más pronunciada, como las colinas de San Francisco, y un número menor corresponde a una pendiente más superficial, como las llamadas colinas de Chicago. Las pendientes positivas apuntan hacia arriba y las pendientes negativas apuntan hacia abajo. Calculamos la pendiente encontrando el cambio en y sobre el cambio en x . Esto es como decir el cambio de elevación, o altura, sobre la distancia que avanzamos. Finalmente, las tangentes son pendientes en puntos únicos a lo largo de curvas. Los usamos cuando la curva no tiene una sola pendiente y la pendiente cambia en cada punto.