Probabilidad en el póquer
Caleb está jugando al póquer con sus amigos y está teniendo mucha suerte. Después de ganar una mano con color, Caleb comienza a pujar alto de nuevo en la siguiente mano. Sus amigos comienzan a preguntarse, ¿cuál es la probabilidad de que Caleb tenga otra gran mano? Para calcular la probabilidad de una mano de póquer, deberá comprender cómo usar una fórmula de combinación , que es una fórmula de probabilidad que usa factoriales para encontrar el número de combinaciones posibles de todos los resultados del experimento.
La fórmula de combinación se ve así:
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Puede notar que esta fórmula usa un signo de exclamación, también conocido como factorial en matemáticas. ¡Necesitará usar una calculadora gráfica o intentar una búsqueda en Internet de 10! para encontrar los valores factoriales.
Póquer (Poker): Definición, historia y origen
Antes de discutir la fórmula de combinación y cómo resolver las probabilidades de póquer, primero analicemos las características de una baraja de cartas bastante barajada. Una baraja de naipes justa tiene 52 cartas, sin contar los comodines, y se ha barajado a fondo. Asumimos que nadie ha estado haciendo trampa y poniendo cartas adicionales en el mazo o poniendo el mazo en un orden particular.
También debe saber que hay 4 palos de cartas: corazones, espadas, tréboles y diamantes. Y hay 13 cartas diferentes en cada palo: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina y Rey. Si tuviéramos que calcular la probabilidad de sacar una sola carta del mazo, digamos un 10 de diamantes, entonces esa sería una probabilidad de 52, considerando que solo hay un 10 de diamantes en el mazo. Si estuviéramos calculando la probabilidad de sacar un as del mazo, entonces esa probabilidad sería 4/52, porque hay un as para cada palo y un total de 52 cartas.
Ahora que hemos discutido las características de una baraja de cartas, repasemos la probabilidad de cada tipo de mano de póquer.
Probabilidad de una escalera real
Una escalera real está formada por el as, el rey, la reina, la jota y 10 del mismo palo. Dado que hay cuatro palos, eso significa que hay cuatro colores reales diferentes posibles en la baraja. Pero todavía no hemos terminado de calcular la probabilidad de una escalera real. Necesitamos averiguar todas las posibles combinaciones de colores reales en comparación con todas las otras manos posibles que podría obtener en un mazo cuando se reparten cinco cartas.
Primero, veamos todas las combinaciones posibles que puede obtener cuando se le reparten cinco cartas. Esa es una combinación de 52, elija 5. Eche un vistazo a nuestra fórmula de combinación:
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El resultado es un total de 2.598.960 combinaciones. ¡Vaya, son muchas combinaciones! Ahora debemos determinar la posibilidad de obtener una escalera real. Recuerde, hay cuatro colores reales diferentes posibles en la baraja, por lo que podemos dividir 4 entre 2.598.960 para obtener nuestra probabilidad. Ese es el número total de posibles colores reales dividido por el número total de manos posibles. ¡Lo que nos da 4 / 2,598,960, o una probabilidad de 1 entre 649,740! Esto significa que Caleb tiene una posibilidad muy pequeña de tener una escalera real.
Probabilidad de rectas y enrojecimientos
Es hora de un poco más de terminología de póquer. Una escalera de color es otro tipo de mano de póquer que es del mismo palo. Sin embargo, a diferencia de la escalera real, una escalera de color solo tiene que ser de 5 cartas consecutivas, como un 6, 7, 8, 9 y 10 o una reina, jota, 10, 9 y 8. Una escalera de color puede ser cualquier combinación de cartas siempre que sean del mismo palo y sean consecutivas. Al calcular la probabilidad de escalera de color, no contamos una escalera real, aunque técnicamente una escalera real también es una escalera de color.
La forma más sencilla de resolver este problema en particular es examinar cuántas manos podría tener mirando la carta más alta de su mano. Por ejemplo, si tu carta más alta comienza siendo un rey en una escalera de color, las cartas siguientes tendrían que ser Reina, Jota, 10 y 9. Entonces, ¿cuál es la primera carta de la escalera de color más baja posible? Debería tener un 5, 4, 3, 2 y un As para crear el color más bajo posible. Ahora necesitamos contar todas las posibles combinaciones intermedias.
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En lugar de utilizar una fórmula, la forma más sencilla es contar cada carta que comienza la escalera de color. Por ejemplo, nuestra primera escalera de color comenzó con un rey, que sería una combinación posible. El siguiente comenzaría con una Reina (y la mano sería Reina, Jota, 10, 9 y 8). Si seguimos contando así, tenemos nueve combinaciones posibles para cada palo. Como hay cuatro palos, necesitamos multiplicar 9 x 4 para obtener todas las combinaciones posibles de colores directos, que es 36. Ahora, dividimos eso por el número total de manos posibles en una baraja de 52 cartas, y obtenemos 36 / 2,598,960, o aproximadamente una probabilidad de 1 entre 72,193.
Un color es una mano de cinco cartas del mismo palo. No es necesario que sean consecutivos en orden. Ésta es una probabilidad más fácil de encontrar. Hay cuatro palos, y de esos cuatro solo puedes tener uno en tu mano. Por lo tanto, podemos ver cuatro posibles combinaciones de colores de cuatro palos diferentes. Cada palo tiene 13 cartas y necesitamos cinco de esas cartas de uno de los palos. Por lo tanto, también tendremos que considerar todas las formas posibles en las que puede elegir cinco cartas de 13 cartas de un mismo palo. Esto nos da la combinación de probabilidad de 13, elija 5. Para esto, necesitaremos usar la fórmula de combinación nuevamente.
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Tenemos un total de 1.287 posibles combinaciones de colores en un solo palo. ¡Pero aún no hemos terminado! Esta combinación solo busca elegir cinco cartas de 13, lo que significa que algunas de las combinaciones pueden ser una escalera de color. Primero tendremos que restar todos los posibles colores de escalera, incluida una escalera real, de este total. Recuerde, solo puede tener una escalera real en un palo y otras nueve escaleras posibles. Por lo tanto, necesitaríamos restar 10 de 1287 para que solo veamos las posibles combinaciones de colores en un palo. El número posible de colores es de 1277 por palo. Hay cuatro palos, por lo que para encontrar el número total de posibles colores en un mazo, debes multiplicar 1277 x 4 = 5 108. Tiene una probabilidad de 5,108 entre 2,598,960 de obtener color, o aproximadamente 1 entre 509 posibilidades.
A continuación, determinemos la posibilidad de una escalera en el póquer. Una escalera es una mano de cinco cartas consecutivas que no son del mismo palo nuevamente. Puede mirar un palo y todas las combinaciones posibles de escaleras de un palo comenzando con la carta más alta. La primera combinación sería As, Rey, Reina, Jota y 10. Sabemos que nuestra mano más baja posible sería 5, 4, 3, 2 y As, en una combinación de diferentes palos. Si contamos todas las rectas posibles de cada palo, obtendríamos diez. Hay diez posibles combinaciones de rectas para cada palo, pero ahora tenemos que considerar el hecho de que la mano podría estar formada por cada palo.
Para cada una de las cinco cartas en su mano, esa carta puede ser un corazón, una espada, un trébol o un diamante. Por lo tanto, podemos decir que tiene una combinación de 4 elegir 1 para cada una de las cinco cartas en su mano. Por ejemplo, podrías tener un 5 de corazones en esta mano, o podrías tener un 5 de diamantes, espadas o tréboles. Lo mismo ocurre con las otras tarjetas; podría tener un 4 de corazones, diamantes, espadas o tréboles. Para contar cada una de estas combinaciones necesitaríamos multiplicar las combinaciones de 4, elige 1 cinco veces. Lo que significa que tenemos cuatro palos, tendríamos que elegir un palo para cada una de las cinco cartas en la mano. Su fórmula se vería así:
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Observe que podemos simplificar esta fórmula a 4 elevado a la 5ª potencia. Debido a que tenemos diez posibles combinaciones de escaleras en un palo y 4 a la 5a potencia de combinaciones de palos para cada mano de cinco cartas, necesitaremos multiplicar estas dos combinaciones para obtener 10 x 4 ^ 5 = 10,240.
¡Pero aún no hemos terminado! Como esta cifra incluye el número de colores reales y de colores directos posibles, primero tendremos que restar ese número utilizando los valores que encontramos en nuestros cálculos anteriores:
10.240 – 4 = 10.236. Esto está restando los cuatro posibles rubores reales.
10.236 – 36 = 10.200. Y esto está restando los 36 posibles colores directos.
Ahora tenemos 10,200 / 2,598,960, o aproximadamente una probabilidad de 1 en 255.
Así que probablemente puedas ver cómo cuanto más baja sea la mano, más probabilidades tendrás de tener esa mano en el póquer. Caleb probablemente tenga suerte, ¡estadísticamente hablando, por supuesto!
Resumen de la lección
Como habrás notado, hay muchas manos diferentes en el póquer y cada una tiene su propia forma de resolver la probabilidad de la mano. Caleb estaba teniendo bastante suerte en su juego de póquer, pero probablemente eso es todo. Muchas de estas probabilidades tenían una cosa en común: la fórmula de combinación. La fórmula de combinación es una fórmula de probabilidad que usa factoriales para encontrar el número de combinaciones posibles de todos los resultados del experimento.
En esta lección, usamos la fórmula de combinación con lo que sabíamos sobre una baraja justa de cartas para encontrar probabilidades de diferentes manos de póquer. Sin embargo, solo hemos cubierto algunas de las manos más altas del póquer. ¡Consulte nuestras otras lecciones para descubrir cómo resolver la probabilidad de otras manos de póquer!
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