Definición
El principio fundamental de conteo es una regla matemática que le permite encontrar el número de formas en que puede ocurrir una combinación de eventos. Por ejemplo, si el primer evento puede ocurrir de 3 formas, el segundo evento puede ocurrir de 4 formas y el tercer evento puede ocurrir de 5 formas, entonces puede averiguar el número de combinaciones únicas multiplicando: 3 * 4 * 5 = 60 únicas combinaciones. Imagina que tienes un negocio de costura de corbatas. Puede hacer lazos únicos cambiando cualquiera de los siguientes factores: color (5 opciones) y forma (3 opciones). ¿Cuántas corbatas únicas puedes hacer? Una forma de pensarlo es haciendo un diagrama. Hay 5 colores. Cada uno de los 5 colores se puede convertir en 3 formas: azul con 3 opciones de forma, rojo con 3 opciones de forma, etc. Al multiplicar, obtienes el número total de caminos que puedes tomar a través del diagrama. Puedes hacer 15 tipos diferentes de corbatas (5 * 3). Ahora suponga que también agrega 3 opciones de patrón a sus opciones de corbata: a rayas, liso o de lunares. ¿Cuántos lazos puedes hacer ahora? Simplemente imagina una de las posibilidades que tenías originalmente, tal vez una corbata verde corta y gruesa. Esa corbata corta verde ahora se puede hacer de tres maneras: a rayas, sólida o de lunares. Lo mismo ocurre con los otros 14 vínculos originales. Entonces, ahora tienes 15 * 3 = 45 tipos diferentes de ataduras. Este método de multiplicación funciona siempre que tenga varios factores (color, forma y diseño) y cada uno de esos factores puede combinarse entre sí de cualquier forma posible. Puede utilizar la regla de conteo fundamental (multiplicación) en cualquier momento que tenga un conjunto de categorías y se seleccionará una de varias opciones en cada categoría. Puede pensar que tiene varios «espacios» vacíos que llenar. Cada ‘espacio’ recibe solo un elemento.
Algunos ejemplos
Suponga que los espacios representan los platos de una comida que va a pedir. Si hay 6 platos, es posible que tenga 3 opciones de aperitivos, 2 opciones de sopas y 4 opciones de ensaladas, junto con 5 opciones de platos principales, 10 opciones de bebidas y 3 opciones de postres. Para saber cuántas comidas únicas de 6 platos puede preparar, complete los espacios en blanco con la cantidad de opciones y multiplique: 3 * 2 * 4 * 5 * 10 * 3 = 3.600 posibles comidas únicas Otra situación podría ser la creación de matrículas. Nuevamente, tiene 6 espacios para llenar. Esta vez, los dos primeros espacios deben ser letras (26 opciones) y los 4 espacios restantes deben ser números (10 opciones cada uno). Si llena las 6 ‘ranuras’ con la cantidad de opciones y las multiplica, obtiene la cantidad de placas que puede hacer: 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000 matrículas
La regla fundamental de conteo y los exponentes
Si tiene repeticiones, la misma cantidad de opciones en varios espacios, entonces es un poco más conciso usar exponentes. La multiplicación de matrículas se puede reescribir como: 26 ^ 2 * 10 ^ 4 Esta simplificación es particularmente útil si cada ranura tiene el mismo número de opciones. Por ejemplo, suponga que está creando números de teléfono de 7 dígitos y puede usar cualquiera de los diez dígitos (del 0 al 9) en cada espacio. Obtienes 10 a la séptima posibilidad de potencia.
La regla fundamental de conteo y factoriales
Otra simplificación ocurre si cada ranura tiene una opción menos que la ranura anterior. Por ejemplo, suponga que tiene 10 libros y desea colocarlos en su biblioteca. Coges un libro al azar y lo pones primero. La primera ‘ranura’ tiene 10 opciones de libros. Pero ahora que ha elegido 1 libro, solo le quedan 9 para elegir para el segundo espacio. Para el tercer espacio, solo tiene 8, y así sucesivamente hasta que solo le quede 1 libro. La cantidad de formas en que puede organizar sus libros es: 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ¡Esto se puede representar como 10! El signo de exclamación es un símbolo matemático llamado factorial . Significa tomar el número frente a él y multiplicarlo por el siguiente número más bajo, luego el siguiente número debajo de ese, y así sucesivamente hasta llegar a 1.
Resumen de la lección
El principio fundamental de conteo es simplemente una forma de contar el número de combinaciones que puede crear cuando está haciendo varias elecciones seguidas. En los casos en que tenga valores repetidos, puede ser más fácil usar exponentes. Los factoriales también son útiles cuando se multiplica un conjunto de números que comienza en 1 y aumenta por 1 en cada «espacio».
Lección de un vistazo
El uso del principio de conteo fundamental le permitirá encontrar la cantidad de formas únicas en que puede ocurrir una combinación de eventos simplemente multiplicando la cantidad de opciones para cada evento. Si tiene el mismo número de opciones en varios espacios, también puede usar exponentes. Los factoriales ayudan si cada ranura tiene una opción menos que la ranura anterior.
Los resultados del aprendizaje
Después de revisar esta lección, debería poder
- Aplicar el principio fundamental de conteo en situaciones aplicables
- Usa exponentes para simplificar los cálculos
- Calcule correctamente si ve un factorial después de un número
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