Problemas de integración en cálculo: soluciones y ejemplos

Problemas de integración

La integración de varios tipos de funciones no es difícil. Todo lo que necesita saber son las reglas que se aplican y cómo se integran las diferentes funciones. Sabes que el problema es un problema de integración cuando ves el siguiente símbolo:

Recuerde también que su respuesta de integración siempre tendrá una constante de integración, lo que significa que agregará ‘+ C ‘ para todas sus respuestas. Los diversos tipos de funciones que verá con mayor frecuencia son monomios, recíprocos, exponenciales y funciones trigonométricas. Ciertas reglas como la regla constante y la regla de poder también te ayudarán. Comencemos con los monomios.

Monomios

Los monomios son funciones que tienen un solo término. Algunos monomios son solo constantes, mientras que otros también involucran variables. Ninguna de las variables tiene potencias que sean fracciones; todos los poderes son enteros enteros. Por ejemplo, f ( x ) = 6 es un monomio constante, mientras que f ( x ) = x es un monomio con una variable.

Cuando ve un monomio constante como su función, la respuesta cuando integra es nuestra constante multiplicada por la variable, más nuestra constante de integración. Por ejemplo, si nuestra función es f ( x ) = 6, entonces nuestra respuesta será la siguiente:

Podemos escribir esto en forma de fórmula como sigue:

Si nuestra función es un monomio con variables como f ( x ) = x , entonces necesitaremos la ayuda de la regla de la potencia que nos dice lo siguiente:

La regla de la potencia nos dice que si nuestra función es un monomio que involucra variables, entonces nuestra respuesta será la variable elevada a la potencia actual más 1, dividida por nuestra potencia actual más 1, más nuestra constante de integración. Esto es solo si nuestra potencia actual no es -1. Por ejemplo, si nuestra función es f ( x ) = x , donde nuestra potencia actual es 1, entonces nuestra respuesta será esta:

Recuerde que si no ve una potencia, siempre es 1 porque cualquier cosa elevada a la primera potencia es él mismo.

Probemos con otro ejemplo. Si nuestra función es f ( x ) = x ^ 2, entonces nuestra respuesta será la siguiente:

Cualquiera que sea nuestra potencia actual, nuestra respuesta será la variable elevada a la siguiente potencia dividida por la siguiente potencia. En el ejemplo anterior, nuestra potencia actual es 2, entonces nuestra próxima potencia es 3. En nuestra respuesta, tenemos un 3 para la potencia de la variable y para el denominador siguiendo la regla de la potencia. Si nuestro monomio es una combinación de una constante y una variable, tenemos la regla de la constante para ayudarnos. La regla constante se ve así:

La regla de la constante nos dice que saquemos la constante de la integral y luego integremos el resto de la función. Por ejemplo, si nuestra función es f ( x ) = 6 x , entonces nuestra integral y respuesta serán las siguientes:

Movimos el 6 fuera de la integral de acuerdo con la regla de la constante, y luego integramos la x por sí misma usando la regla de la potencia. Para la respuesta, simplificamos 6 x ^ 2/2 a 3 x ^ 2 ya que 6 x se divide uniformemente por 2.

Recíprocos y exponenciales

Otro tipo de función del que nos ocuparemos es la recíproca. La integral del recíproco sigue esta fórmula:

La fórmula nos dice que cuando integramos el recíproco, la respuesta es el logaritmo natural del valor absoluto de nuestra variable más nuestra constante de integración. Las funciones exponenciales incluyen la función e ^ x así como la función log ( x ) y estos tipos de funciones siguen estas fórmulas de integración:

La primera fórmula nos dice que cuando tenemos una función e ^ x , nuestra respuesta para la integral será e ^ x + C . La a en la fórmula integral del medio representa una constante. La fórmula media nos dice que cuando tenemos, por ejemplo, una función como 3 ^ x , entonces nuestra respuesta después de la integración será del 3 ^ x / log (3) + C . La fórmula integral nos dice que la integral de la función logarítmica natural de x es x (log ( x ) – 1) más nuestra constante de integración.

Funciones trigonométricas

Nuestras funciones trigonométricas incluyen funciones de coseno, seno y secante. Siguen estas fórmulas:

Si está integrando la función coseno, terminará con la función seno más la constante de integración. La integración de la función seno le da la función coseno negativa más nuestra constante de integración. Si ve la función secante al cuadrado, su respuesta será la función tangente más nuestra constante de integración.

Resumen de la lección

Revisemos. La integración de diferentes funciones implica consultar las fórmulas para cada tipo de función junto con la aplicación de la constante o regla de potencia cuando sea necesario. La regla de la constante nos dice que saquemos la constante de la integral y luego integremos el resto de la función. La regla de la potencia nos dice que si nuestra función es un monomio que involucra variables, entonces nuestra respuesta será la variable elevada a la potencia actual más 1, dividida por nuestra potencia actual más 1, más nuestra constante de integración. Recuerda siempre tu constante de integración a la hora de integrar.

Términos para memorizar

• Monomios : funciones que tienen un solo término
• Regla de potencia : si la función es un monomio que involucra variables, entonces la respuesta será la variable elevada a la potencia actual más 1, dividida por la potencia actual más 1, más la constante de integración.
• Regla de la constante : nos dice que saquemos la constante de la integral y luego integremos el resto de la función

Los resultados del aprendizaje

A medida que avanza en la lección, podría desarrollar la capacidad para:

• Determinar si una función es un problema de integración
• Identificar las fórmulas de recíprocos, funciones trigonométricas, exponenciales y monomios.
• Observa la regla del poder y la regla constante

Rodrigo Ricardo Editor y fundador