Problemas de práctica con funciones trigonométricas circulares

El círculo de la unidad

En esta lección en video, tratamos con funciones trigonométricas circulares . Estas son sus funciones trigonométricas calculadas mediante un círculo. ¿Qué tipo de círculo? Usaremos un círculo especial llamado círculo unitario . Llamamos a este círculo especial un círculo unitario porque tiene un radio de 1. Si trazamos esto en nuestra gráfica de coordenadas cartesianas, el centro de nuestro círculo estará en el origen. El círculo cruza el eje x en el lado derecho en (1, 0) y en el lado izquierdo en (-1, 0). El círculo también cruza el eje y en la parte superior en (0, 1) y en la parte inferior en (0, -1).

Circulo unitario

Usar el círculo unitario para ayudar a resolver nuestras funciones trigonométricas significa que todos nuestros puntos estarán en algún lugar del círculo unitario. ¿Dónde entran en juego los ángulos con el círculo unitario? Esta es una buena pregunta. Si tomamos un punto, podemos trazar una línea desde el centro de nuestro círculo hasta el punto. Tendremos un radio de 1. El ángulo formado por esta línea y nuestro eje x positivo es el ángulo que usamos para nuestros cálculos. La parte realmente interesante del círculo unitario es que nuestro valor de x se convierte en cos (theta) y nuestro valor de y es sin (theta).

Ángulos en el círculo unitario

¿Como funciona esto? ¿Recuerda nuestras definiciones de nuestras funciones coseno y seno usando un triángulo rectángulo? El coseno es adyacente a la hipotenusa. Busca en nuestro círculo de la unidad y el triángulo que está formado por el radio, el x valor y la y valor de nuestro punto, vemos que nuestro adyacentes es x y nuestra hipotenusa es 1. Así hipotenusa sobre adyacente es entonces x / 1 o x . Tenemos cos (theta) = x / 1 = x .

En cuanto a la función seno, tenemos sin (theta) igual al opuesto sobre la hipotenusa. Nuestro opuesto es y y nuestra hipotenusa es 1. Entonces sin (theta) = y / 1 = y . Bastante ordenado, ¿eh? Esto nos ayuda mucho porque en realidad podemos completar nuestro círculo unitario con varios puntos que son fáciles de calcular.

Círculo unitario en radianes

Círculo unitario en grados

¡Solo mira todos estos puntos! Si puedes recordarlos, ¡estás en camino de convertirte en un profesional de funciones trigonométricas circulares! ¿Cómo puedes recordar todos estos puntos? Parecen un poco complicados, ¿no? Lo hacen, pero si ve el patrón que está allí, entonces no tendrá tantos problemas.

Mire cuidadosamente los numeradores. Ahora mira lo que están haciendo los puntos. A medida que avanza de un punto a otro, verá que sus números en realidad aumentan o disminuyen en 1. Todavía tiene su raíz cuadrada, pero el número en el interior va de 1 a 2 a 3 y viceversa. Es lo mismo para los valores de x e y .

A medida que asciende en el eje y , el numerador para el valor de y va de 1 a la raíz cuadrada de 2 a la raíz cuadrada de 3. Para ayudarle con esto, también puede pensar en el 1 como la raíz cuadrada de 1 para que tengas todas las raíces cuadradas. Puede ver que los números siguen el gráfico de coordenadas.

A medida que el valor de x se vuelve más negativo, también lo hace el numerador del valor de x . Va de -1 a la raíz cuadrada de -2 a la raíz cuadrada de -3. En cuanto al denominador, todos los puntos que no son puntos fáciles como (0, 1) tienen un denominador de 2. Eso es todo lo que tienes que recordar.

Grados y radianes

De acuerdo, eso está muy bien, pero ¿qué pasa con los dos gráficos diferentes? Uno tiene un montón de pis. ¡Otra buena pregunta! Este segundo gráfico con el pis le muestra la medida en radianes equivalente de los grados. Entonces tenemos 90 grados es lo mismo que pi / 2 radianes y 60 grados es pi / 3 radianes .

Mira, radianes es solo otra forma de medir ángulos como grados. Verá en su calculadora que puede elegir entre los dos al hacer cálculos. Asegúrate de estar usando el correcto. Utilice radianes cuando trabaje con radianes y grados cuando trabaje con grados. De lo contrario, obtendrá un montón de mortadela o tonterías por sus respuestas. Le he mostrado ambos gráficos porque muchas veces verá funciones trigonométricas circulares utilizadas con radianes en lugar de grados. Si conoce la medida en radianes, puede encontrar fácilmente la respuesta. Muchas veces, se le pedirá que encuentre uno de los ángulos que están marcados específicamente en el círculo unitario. Por lo tanto, conocer su medida en radianes junto con el círculo unitario le dará mucha ventaja en la resolución de problemas.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo a lo que puede esperar encontrar en las pruebas y demás. Puede encontrarse con un problema que le pregunte algo como esto:

¿En qué ángulos será verdadero el enunciado pecado (theta) = 1/2?

Para responder a este tipo de problema, irá a su círculo unitario. Recuerda que el pecado (theta) es tu valor y . De modo que busca puntos en los que tenga un valor de y de 1/2. ¿Cuántos puntos de este tipo ves? Veo dos. Tu no? ¡Excelente! Tenemos el ángulo pi / 6 radianes o 30 grados que tiene un valor de y de 1/2. También tenemos el ángulo 5pi / 6 radianes o 150 grados que también da un valor de y de 1/2. Entonces, nuestros dos ángulos son pi / 6 y 5pi / 6 radianes o 30 y 150 grados .

Ejemplo 2

Ese no fue tan malo. Probemos uno más.

¿Cuál es el coseno de 3pi / 2?

¿Qué harías para empezar? Sí, ve al círculo unitario. Buscamos el ángulo 3pi / 2. Lo encontramos en la parte inferior. Nuestro coseno es el valor de x . Entonces, ¿cuál es el valor de x en este punto? Es 0. Entonces el coseno de 3pi / 2 es 0 . ¡Hurra! ¡Hemos terminado! Un trabajo bastante fácil, ¿no es así con el círculo unitario?

Ejemplo 3

Hagamos un último problema.

¿Cuál es la tangente de pi / 3?

Espere . . . Este círculo unitario solo nos da seno y coseno, entonces, ¿cómo encontramos la tangente? Todavía podemos usar el círculo unitario para encontrar nuestra tangente porque recordamos que la tangente también se define como seno / coseno. Entonces, nuevamente, miramos nuestro círculo unitario. Hallamos el ángulo que es pi / 3. Ah, ahí está. Nos da el punto (1/2, (sqrt. 3) / 2). Entonces, nuestro coseno es 1/2 y nuestro seno es (raíz cuadrada 3) / 2.

Nuestra tangente es seno / coseno. Entonces, todo lo que necesito hacer es calcular ((sqrt. 3) / 2) / (1/2) . Estamos dividiendo por una fracción. Usamos nuestras reglas de fracciones y volteamos la fracción inferior y convertimos la división en multiplicación. Tenemos ((sqrt. 3) / 2) * 2 . Esto se evalúa en sqrt. 3 ya que los dos se anulan mutuamente. Eso significa que la tangente de pi / 3 es sqrt. 3 .

Sí, todo lo que necesitamos para encontrar todas nuestras otras funciones trigonométricas son los valores de seno y coseno. Recordamos que:

• La tangente es seno / coseno
• Cosecante es 1 / seno
• Secante es 1 / coseno
• La cotangente es coseno / seno

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido:

Nuestras funciones trigonométricas circulares son las funciones trigonométricas calculadas usando un círculo. El círculo que usamos se llama círculo unitario porque tiene un radio de 1. Podemos llenar este círculo unitario con varios puntos basados ​​en el ángulo que forma el radio de cada punto con el eje x positivo .

Usamos este círculo unitario con los valores marcados para ayudarnos a responder funciones trigonométricas circulares. Vemos que en nuestro círculo unitario, todos los puntos siguen el patrón de cos (theta) = x y sin (theta) = y . El uso de esta información nos ayuda a calcular fácilmente los valores del coseno y del seno usando solo el círculo unitario. Una vez que conocemos el valor del coseno y del seno, podemos encontrar los otros valores trigonométricos porque las otras funciones trigonométricas son fracciones o recíprocos del seno y el coseno.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir funciones trigonométricas circulares y círculo unitario
• Identificar las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
• Explica cómo usar el círculo unitario para resolver problemas que involucran funciones trigonométricas circulares.