Producto especial: definición y fórmula

Binomios y FOIL

Los binomios son polinomios con dos términos. Por ejemplo:

x + 9

7 x – 2 y

Los dos términos del primer binomio son x y 9, y los dos términos del segundo binomio son 7 x y -2 y . Es divertido trabajar con binomios en matemáticas, porque adoptan muchos patrones cuando los combinamos utilizando varias operaciones. En esta lección, nos concentraremos en multiplicar binomios.

Multiplicar binomios puede parecer una tarea monumental, pero es bastante fácil cuando usamos el método FOIL . FOIL significa primero, interior, exterior, último. ¡Probablemente se esté preguntando qué tiene que ver esto con la multiplicación de binomios! Bueno, cuando multiplicamos dos binomios, así:

( x + y ) ( r + s )

Lo hacemos multiplicando los primeros términos de cada binomio para obtener x r . Luego, multiplicamos los dos términos externos para obtener x s . A continuación, multiplicamos los dos términos internos para obtener y r . Por último, multiplicamos los dos últimos términos de cada binomio para obtener y s , luego sumamos todos estos productos para obtener:

( x + y ) ( r + s ) = x r + x s + y r + y s .

Bastante simple, ¿verdad? Este método se ilustra en la siguiente imagen.

Método FOIL

Este proceso funcionará para dos binomios cualesquiera, pero hay algunos casos especiales en los que podemos simplificar aún más esta fórmula. Estos casos especiales se denominan productos especiales porque son casos especiales de productos de binomios.

Multiplicar el binomio a + b por sí mismo

El primer producto especial que veremos es multiplicar un binomio por sí mismo. Es decir:

( a + b ) ^ 2 = ( a + b ) ( a + b )

Cuando realizamos el método FOIL en este caso, obtenemos:

( a + b ) ( a + b ) = a ^ 2 + a b + a b + b ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2

Esto se ilustra en la siguiente imagen.

Podemos usar esta fórmula en cualquier momento que estemos multiplicando un binomio de la forma a + b por sí mismo. Por ejemplo, considere este binomio:

2 x + 1

Usamos la fórmula para multiplicar 2 x + 1 por sí mismo para obtener:

(2 x + 1) (2 x + 1) = (2 x ) (2 x ) + 2 (2 x * 1) + 1 * 1 = 4 x ^ 2 + 4 x +1

Esta fórmula simplifica aún más las cosas, ¿no estás de acuerdo? Veamos otro producto especial.

Multiplicar el binomio a – b por sí mismo

Otro producto especial es cuando multiplicamos un binomio de la forma a – b por sí mismo. Podemos usar el método FOIL y luego simplificar para encontrar una fórmula agradable para este producto especial. Obtenemos:

( a – b ) ( a – b ) = a ^ 2 – a b – a b + b ^ 2 = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2

Vemos esto ilustrado en la imagen a continuación.

Otra fórmula que facilita las cosas, ¡sí, por favor! Considere el ejemplo de multiplicar el binomio x – 7 por sí mismo. Podemos usar nuestra fórmula para obtener:

( x – 7) ( x – 7) = x * x – 2 ( x * 7) + 7 ^ 2 = x ^ 2-14 x + 49

Multiplicar a + b por a – b

El último producto especial es cuando estamos multiplicando dos binomios juntos de la forma de un + b y un – b . Vamos a usar la FOIL método para ver lo que pasa cuando multiplicamos estos dos binomios juntos. Es decir:

( a + b ) ( a – b ) = a ^ 2 – a b + a b – b ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2

¡Esto es genial! ¡Esta fórmula es incluso más sencilla que las demás! Vemos que los dos términos intermedios del producto se cancelan dejándonos con la fórmula:

( a + b ) ( a – b ) = a ^ 2 – b ^ 2

Podemos usar esto en cualquier momento que multipliquemos dos binomios de la forma ( a + b ) ( a – b ). Por ejemplo, considere estos binomios:

3 x + 2

3 x – 2

Podemos usar nuestra fórmula para multiplicar estos dos binomios para obtener:

(3 x + 2) (3 x – 2) = (3 x ) (3 x ) – 2 * 2 = 9 x ^ 2-4

Resumen de la lección

¡Revisemos! Los productos especiales son simplemente casos especiales de multiplicar ciertos tipos de binomios. Tenemos tres productos especiales:

• ( a + b ) ( a + b )
• ( a – b ) ( a – b )
• ( a + b ) ( a – b )

Estas fórmulas de productos especiales son las siguientes:

• ( a + b ) ( a + b ) = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2
• ( a – b ) ( a – b ) = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2
• ( a + b ) ( a – b ) = a ^ 2 – b ^ 2

Estas fórmulas se pueden derivar usando el método FOIL para multiplicar binomios, que consiste en encontrar los productos de los dos primeros términos de los binomios, los términos externos, los términos internos y los dos últimos términos, y luego sumar todos estos productos. Cuando queremos multiplicar dos binomios juntos y tenemos la suerte de tener esos binomios en forma de nuestros productos especiales, nuestro trabajo de multiplicar esos binomios juntos es mucho más fácil.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador