Números racionales e irracionales
Fred ha encontrado un trabajo temporal en la ciudad y está encantado de comenzar su nuevo trabajo en el Real Number Emporium. Su primera tarea es clasificar los números reales que bajan por la cinta transportadora en dos cajas, etiquetadas como Q e I. La letra «Q» es para el conjunto de números racionales, donde «Q» significa «cociente». » La letra » I » es para el conjunto de números irracionales. Verá, los números reales son racionales o irracionales . Fred sabe que la palabra «irracional» significa «no racional», pero no sabe cómo identificar los números racionales. Si tan solo se hubiera quedado despierto en la clase de álgebra. Veamos si podemos actualizar las habilidades de Fred y ayudarlo a mantener su trabajo.
Identificación de números racionales
La palabra «racional» incluye la palabra «razón». Una razón es el cociente de dos números. Una razón a / b , donde a y b son números enteros como {. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,. . .} es la clave para identificar números racionales. La única restricción sobre b es b ≠ 0, porque dividir por 0 no está definido. Si un número se puede escribir como a / b , es un número racional y entra en el cuadro Q.
Imagina que el primer número que Fred ve es 7. Bien, 7 = 7/1, entonces 7 es un número racional.
El siguiente número es 2,56. De acuerdo, 2.56 = 256/100, entonces nuevamente entra en el cuadro Q.
El tercer número es 0.3 … Hmmm,
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¿Fred verá alguna vez un número irracional?
El siguiente número es √4. Las raíces de los números pueden ser racionales o no. En este caso, √4 = 2 y 2/1 es un número racional.
El siguiente número, √5, no es un cuadrado perfecto y no se puede escribir como a / b . Por lo tanto, √5 es un número irracional y va en el cuadro I.
Fred ha estado en el trabajo 15 minutos y ya necesita un descanso. Te pide que te hagas cargo. ¿Cómo clasificaría los siguientes números reales?
√2, √16, -31, π y .7142857142857142. . .
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Tus decisiones son:
- √2 no es un cuadrado perfecto, por lo que es irracional.
- √16 es un cuadrado perfecto igual a 4/1, entonces es racional.
- π no se puede escribir como a / b (aunque π ≅ 22/7), lo que lo hace irracional.
- .7142857142857142. . . es un decimal periódico. Puede escribirse como 5/7, lo que lo hace racional.
Existe un método para convertir este decimal periódico en una proporción. Vamos a ver.
x = .714285
10 6 x – x = 714285
x = 714285 / (10 6 – 1)
x = 714285/999999
Si factorizamos y cancelamos, terminaremos con 5/7
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Propiedades de los números racionales
Fred ha vuelto al trabajo y termina su primer día. La jefa, la Sra. Real, está impresionada con su trabajo y le ofrece un trabajo en control de calidad. Así es, vas a sacar muestras de la caja racional y probarlas.
Decide utilizar algunas propiedades:
Alquinos: Fórmula, propiedades y ejemplos
- Propiedad 1: La suma de dos números racionales es racional.
En forma abreviada: Q + Q ∈ Q.
El símbolo ∈ significa » está en » o » pertenece a ». - Propiedad 2: El producto de dos números racionales es racional.
Q x Q ∈ Q
Si sumamos o multiplicamos dos números racionales, el resultado sigue siendo un número racional.
El control de calidad comienza con los números 7 y 2.56.
Agreguemos:
7 + 2.56 = 9.56 = 956/100, que es racional.
Ahora multipliquemos:
7 x 2,56 = 17,92 = 1,792 / 100, que es racional.
Los siguientes dos números para verificar son √4 y √5:
Una vez más, agregaremos:
√4 + √5 = 2 + √5, que no se puede escribir como la razón de a / b . Entonces, uno de los números se colocó por error en el cuadro Q. Es el √5, que es un número irracional.
Esto conduce a dos propiedades más:
- Propiedad 3: La suma de un número racional con un número irracional es un número irracional.
Q + yo ∈ yo - Propiedad 4: El producto de un número racional con un número irracional es un número irracional.
Q * yo ∈ yo
¡Hay una excepción a tener en cuenta! 0 es un número racional. Multiplicar el número racional 0 por cualquier número irracional da 0. Entonces, la propiedad 4 es buena, siempre que el número racional no sea 0.
La Sra. Real está lista para ofrecerte un ascenso, pero tiene algunas preguntas para la entrevista. ¿Qué pasa si sumas o multiplicas dos números irracionales? ¿Puedes decir algo sobre el resultado?
Sumar / multiplicar números irracionales
Hasta ahora, sabemos que sumar o multiplicar números racionales da un número racional:
Q + Q ∈ Q y Q * Q ∈ Q
También sabemos que sumar o multiplicar un número racional con un número irracional da un número irracional:
Q + I ∈ I y Q * I ∈ I
La primera pregunta planteada por la Sra. Real: » ¿Qué puedes decir sobre I + I? »
Por ejemplo, √7 es irracional. También lo es (6 – √7); pero sumados, el resultado es:
√7 + (6 – √7) = 6, que es racional.
Por otro lado, √ 7 + √7 = 2√7, lo cual es irracional.
Entonces la respuesta es:
- Propiedad 5: La suma de dos números irracionales es a veces racional y a veces irracional.
A la Sra. Real le gusta su respuesta y ahora le gustaría que reflexionara sobre lo que sucede cuando se multiplican dos números irracionales.
Por ejemplo, √3 es irracional. También lo es √5. El producto es:
√3 x √5 = √ (15), que no es un cuadrado perfecto; por tanto, el resultado es irracional.
¿Qué tal √3 y √3? Dos números irracionales multiplicados juntos dan:
√3 x √3 = √9 = 3, un número racional.
¿Qué hay de los dos números irracionales √8 y √2? Multiplicados juntos:
√8 x √2 = √ (16) = 4, un número racional.
Su respuesta a la Sra. Real es:
- Propiedad 6: El producto de dos números irracionales es a veces racional y a veces irracional.
¡La Sra. Real está encantada! Empieza mañana. Fred, por otro lado, ya está buscando otro trabajo que le permita dormir más tarde en la mañana y despegar los fines de semana de 3 días.
Resumen de la lección
Los números reales son racionales si se pueden escribir como la relación de un / b , donde un y b son enteros y donde b ≠ 0. Si un número real no es racional, es irracional . Las interacciones numéricas de números racionales e irracionales se pueden establecer en las siguientes seis propiedades:
- Propiedad 1: La suma de dos números racionales es racional.
- Propiedad 2: El producto de dos números racionales es racional.
- Propiedad 3: La suma de un número racional con un número irracional es un número irracional.
- Propiedad 4: El producto de un número racional con un número irracional es un número irracional.
- Propiedad 5: La suma de dos números irracionales es a veces racional y a veces irracional.
- Propiedad 6: El producto de dos números irracionales es a veces racional y a veces irracional.
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