Prueba de hipótesis para una proporción

Antecedentes de las proporciones

¿Puede saber, preguntando a 10 de sus amigos si prefieren pollo o pescado como plato principal de la cena de bodas, qué preferirán los 300 invitados restantes? Bien quizás; lo que está tratando de hacer es determinar qué hará una población más grande en función de los resultados de una población más pequeña. En estadística, a eso lo llamamos prueba para una proporción.

En primer lugar, necesitamos saber qué es una proporción. Una proporción en las estadísticas es una mirada a una parte o una parte en relación con el todo. Es una relación comparativa entre cosas, lo que significa que si sabemos qué parte de una población hace una elección, podemos extrapolarla a toda la población. En otras palabras, las elecciones que hizo una muestra más pequeña se pueden usar para determinar qué podría hacer la población más grande.

Podemos usar la prueba de hipótesis para una proporción para realizar un análisis estadístico que nos ayude a responder preguntas como:

• ¿Más del 80% de las parejas casadas tienen hijos?
• ¿Más del 60% de los hombres estadounidenses tienen barba?
• ¿Más del 75% de los estadounidenses prefieren el pollo al pescado?

En cada uno de estos ejemplos, las opciones o posibilidades son mutuamente excluyentes, lo que significa que una o la otra es verdadera, no ambas. Una pareja casada tiene hijos o no; Los estadounidenses prefieren el pollo o el pescado; o un hombre tiene barba o no.

Condiciones para la prueba de hipótesis

Usemos la preferencia de pollo o pescado como ejemplo. Lo primero que tenemos que hacer es asegurarnos de que se cumplen las condiciones para realizar una prueba de hipótesis para una proporción. Las condiciones son cosas que tienen que ser verdaderas para que la prueba sea válida o útil. Hay cuatro condiciones:

1. Para realizar una prueba de hipótesis para una proporción, el método de muestreo debe ser aleatorio, lo que significa que la parte de la población general que está utilizando para su muestra debe elegirse al azar: todos en la población tienen la misma oportunidad de ser elegido para participar.

2. Cada muestra debe dar como resultado solo dos resultados; los resultados deben ser mutuamente excluyentes . O prefieren el pollo o prefieren el pescado.

3. La muestra incluye al menos 10 éxitos y 10 fracasos. Esto significa que deben estar presentes al menos 10 de cada resultado, por lo que al menos 10 personas de la muestra deben haber elegido pollo y al menos 10 personas de la muestra deben haber elegido pescado.

4. El tamaño de la población es al menos 20 veces mayor que el tamaño de la muestra. Esta es una pregunta difícil. Si el tamaño de la muestra es 100, eso significa que el tamaño de la población debe ser al menos 20 veces mayor, o al menos 2000.

Si se cumplen todas estas condiciones, entonces está listo para enunciar tanto una hipótesis nula como una alternativa. Entonces, en nuestro ejemplo de pollo versus pescado, la hipótesis nula se vería así:

H 0 : p > = .75 (el valor p es mayor o igual al 75%)

Nuestra hipótesis nula esencialmente establece que creemos que el 75% o más de la población preferirá el pollo al pescado.

Y la hipótesis alternativa se vería así:

H a : p <.75 (el valor de p es menor al 75%)

Entonces, la hipótesis alternativa dice que menos del 75% de las personas prefieren el pollo al pescado. p se refiere a la probabilidad de un resultado. Ahora que tenemos nuestras hipótesis, podemos comenzar el proceso para ver cuál de ellas es la correcta.

Procedimiento

Ahora que tenemos una hipótesis nula y una alternativa, podemos seguir los pasos para resolver nuestro problema: ¿Más del 75% de los estadounidenses prefieren el pollo al pescado?

Nuestro primer paso es realizar una prueba z . En una muestra aleatoria de 100 estadounidenses, el 60% prefirió el pollo al pescado. Queremos ver si esa estadística se puede usar para predecir cuántos de la población total de estadounidenses preferirán el pollo al pescado.

Nuestro segundo paso será convertir el resultado de la prueba z en un valor de probabilidad op . Utilizando el gráfico de distribución normal estándar que se encuentra al final de casi cualquier libro de estadísticas o en línea, podemos convertir la puntuación z en un valor p :

Nuestro z = -3,49; por lo tanto, el valor p es 0.0002

A continuación, queremos determinar si nuestra proporción de hipótesis difiere significativamente de la proporción de muestra observada. Podemos usar un nivel de significancia de p en cualquier lugar entre 0 y 1, pero el nivel de significancia típico se establece en 0.01 o 0.05.

Ya sea que usemos la significancia de p <= 0.05 o p <= 0.01, el valor de p al que llegamos con nuestra prueba z es menor que cualquiera de esos (o p = 0.0002), por lo que rechazaremos nuestra hipótesis nula. ¿Qué significa eso realmente, rechazar la hipótesis nula?

Nuestra hipótesis nula fue:

H 0 : p > = .75 (el valor p es mayor o igual al 75%)

Según nuestro análisis estadístico, nuestro valor de p es 0,0002, que es significativamente menor que 0,75, por lo que, en el habla de la gente común, parece que el porcentaje de estadounidenses que prefieren el pollo al pescado es probablemente inferior al 75%.

Resumen de la lección

La prueba de hipótesis para una proporción se puede utilizar para encontrar la posibilidad de un resultado mutuamente excluyente para una población más grande.

Hay cuatro condiciones que deben cumplirse para que este tipo de análisis estadístico sea útil:

1. La muestra debe ser aleatoria
2. La población debe ser al menos 20 veces más grande que la muestra que se analiza.
3. Los resultados deben ser mutuamente excluyentes ( mutuamente excluyentes, lo que significa que uno u otro resultado posible debe ser verdadero)
4. Hay al menos diez respuestas para ambos resultados

Si se cumplen todas esas condiciones, el siguiente paso es crear una hipótesis nula y alternativa que muestre los lados opuestos de los resultados potenciales.

El proceso de análisis de cuatro pasos incluye:

1. Calcular una estadística de prueba adecuada
2. Determinación del valor p , o probabilidad, de que ocurra un resultado
3. Decidir entre la hipótesis nula o alternativa
4. Traducir el resultado a una conclusión del mundo real