¿Qué es la forma de intersección de pendiente? – Definición, ecuación y ejemplos

La ecuación de costos y los cupcakes

Un amigo mío abrió una tienda de cupcakes llamada Wild About Cupcakes. Tiene un escaparate donde hornea todos los cupcakes y los vende. Contrató a dos empleados para que la ayudaran a hornear y vender. Me pidió que la ayudara a determinar el costo diario de su negocio.

Después de un poco de análisis, descubrí que, ya sea que hornee un solo cupcake o no, hay un costo diario fijo de $ 550. Esta cantidad incluye los salarios de los empleados, el alquiler, etc. También hay un costo variable que cambia con la cantidad de cupcakes horneados. El costo variable es de $ 1.25 por cupcake. Esta cantidad incluye el costo de los ingredientes, revestimientos, etc. Si x es el número de cupcakes horneados e y es el costo diario total, entonces:

y = 1,25 x + 550

Esta tabla muestra valores de muestra para x e y .

La gráfica para y = 1.25 x + 550 se ve así:

Gráfico de y = 1.25x + 550

Entonces, ¿qué nos dicen la tabla y el gráfico? Sabemos:

• Cada cupcake adicional producido incurre en un costo adicional de $ 1.25.
• Sin cupcakes producidos ( x = 0), todavía hay un costo de $ 550 ( y = 550).
• La gráfica de y = 1.25 x + 550 cruza el eje y en el punto (0, 550).

Definición y ecuación

La ecuación de la función de costo diario total para Wild About Cupcakes tiene la forma:

y = mx + b

donde m = 1,25 y b = 550. El gráfico de la ecuación y = mx + b (donde m y b son números reales) es una línea con pendiente, m , y la intersección y, b . Esta forma de la ecuación de una línea se llama forma pendiente-intersección .

La pendiente de una línea ( m ) es una medida de su inclinación. Como hemos visto en el ejemplo de Wild About Cupcakes, también es una medida de cuánto cambia y por cada unidad de aumento en x . Dados dos puntos cualesquiera en una línea, ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ), la fórmula para calcular la pendiente es:

m = subir / correr

o

( y2 – y1 ) / ( x1 – x2 )

La intersección con el eje y de una línea ( b ) es la coordenada y del punto donde la gráfica de la línea cruza el eje y. Como hemos visto en el ejemplo de Wild About Cupcakes, es el valor de y cuando x = 0.

Problema de ejemplo

Veamos un problema de ejemplo.

Dos puntos en la línea L son (0, -1) y (3, -3). ¿Cuál es la forma pendiente-intersección de la ecuación de L ? ¡Podemos encontrar la respuesta juntos!

La forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea es y = mx + b , donde m es la pendiente de la línea y b es la intersección con el eje y. Como se nos dan dos puntos, podemos calcular la pendiente m de la siguiente manera:

Primero, restamos el primer punto del segundo para los puntos x e y , y su fracción (con el cambio en y sobre el cambio en x ) es nuestra pendiente. Tenga en cuenta que la pendiente es la misma si intercambiamos el orden de los puntos.

Sabemos que la intersección con el eje y, b = -1, ya que la línea cruza el eje y en el punto (0, -1). Además, recuerda que la intersección con el eje y, b , es el valor de y cuando x = 0.

Por tanto, la ecuación de la recta, con m = -2/3 y b = -1, viene dada por:

y = (-2/3) x – 1

Ejemplo del mundo real

En física, un objeto que se mueve en línea recta con aceleración constante tendrá una velocidad final, v , dada por la ecuación:

v = en + u

donde a es la aceleración constante, u es la velocidad inicial y t es el tiempo transcurrido. Esta ecuación se conoce como ecuación cinemática. Observe que esta ecuación está en forma pendiente-intersección, y = mx + b . En la comparación de estas dos ecuaciones, las variables y constantes correspondientes se muestran con el mismo color:

En la ecuación cinemática, t es su variable x , v es su variable y , a es la pendiente yu es la intersección con el eje y.

Suponga que un objeto tiene una velocidad inicial de 18 metros por segundo y acelera a -3 metros por segundo al cuadrado. El valor de aceleración negativo simplemente significa que el objeto se está desacelerando o desacelerando. ¿Cuál es la velocidad del objeto después de 4 segundos?

Aquí, podemos usar la ecuación cinemática, v = en + u con a = -3 yu = 18. En el tiempo transcurrido t = 4 segundos:

v = (-3) (4) + 18 = 6 metros por segundo.

Resumen de la lección

La siguiente ecuación representa la forma pendiente-intersección de una línea:

y = mx + b

La pendiente de una línea ( m ) es una medida de su pendiente, mientras que la intersección y de una línea ( b ) es la coordenada y del punto donde la gráfica de la línea cruza el eje y. La pendiente se puede determinar dividiendo la elevación de la línea (el cambio en y ) por el recorrido de la línea (el cambio en x ).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador