¿Qué es un número complejo? – Definición y Propiedades

Números complejos

Imagínese llevar un registro de dos cosas a la vez, como almorzar y saber la hora. Esta es una situación compleja algo relacionada con los números complejos. Otro ejemplo es que una señal puede tener una magnitud y una fase. Los números complejos son excelentes para describir señales. En esta lección definimos números complejos y luego usamos propiedades matemáticas para sumar, restar y multiplicar números complejos.

Definición de números complejos

De hecho, un número complejo realmente realiza un seguimiento de dos cosas al mismo tiempo. Una de esas cosas es la parte real mientras que la otra es la parte imaginaria . Por ejemplo, z = 3 + 2 i es un número complejo. La parte real de z es 3 y la parte imaginaria de z es 2. El significado cotidiano de «imaginario» es algo que no existe. El significado en matemáticas es bastante diferente. Identificar la parte imaginaria de un número complejo es fácil porque tiene una etiqueta. La parte imaginaria es el número que multiplica la etiqueta i ‘. Así es, la parte imaginaria de 3 + 2 i es la 2. Ten cuidado porque la parte imaginaria no es 2 i. El imaginario no incluye la etiqueta.

¿Otro ejemplo? Tomemos el número complejo z = -15 – 32 i . ¿Qué parte es real y cuál imaginaria? La parte real es -15 mientras que la parte imaginaria es -32.

El gran matemático suizo Euler inventó i en 1777. El valor de i es la raíz cuadrada de uno negativo. En su mayor parte, usaremos i como la etiqueta que identifica la parte imaginaria de un número complejo. Aún así, es posible que necesitemos evaluar i 2 de vez en cuando. Si i es la raíz cuadrada de uno negativo, entonces i 2 es la raíz cuadrada de uno negativo multiplicado por la raíz cuadrada de uno negativo. Por tanto, i 2 es -1.

Propiedades numéricas

¿Recuerda la propiedad conmutativa ? La propiedad conmutativa se trata de ordenar. Al sumar o multiplicar, cambiar el orden no cambia el resultado. Por ejemplo, 3 + 6 i es lo mismo que 6 i + 3. ¿Qué tal la propiedad asociativa ? La propiedad asociativa tiene que ver con la agrupación. Al sumar o multiplicar, podemos agrupar los términos de cualquier forma sin cambiar el resultado. Por ejemplo, (2 + 3 i ) + (3-4 i ) es lo mismo que (2 + 3) + (3 i – 4 i ) lo que nos da 5 – i . Por último, ¿recuerdas la propiedad distributiva? La propiedad distributiva se trata de distribuir una multiplicación sobre una suma. Al multiplicar un número por un paréntesis que contiene la suma de dos o más números, la multiplicación se aplica a cada número entre paréntesis. Por ejemplo, 2 (3 – 5 i ) es lo mismo que 2 (3) + 2 (-5 i ) lo que nos da 6 – 10 i .

En los siguientes ejemplos usaremos estos cuatro números complejos:

• z 1 = 2 + 3 yo
• z 2 = -3 + 2 yo
• z 3 = 4 – 2 yo
• z 4 = -2 – 4 yo

Sumar números complejos

Ejemplo: sumar z 1 a sí mismo

Comience sustituyendo:

La propiedad asociativa permite cualquier agrupación, por lo que podemos eliminar los paréntesis:

La propiedad conmutativa permite cualquier orden para agregar. El objetivo es agregar las partes reales y las imaginarias por separado:

Sumar las partes reales nos da 2 + 2 = 4. Sumar las partes imaginarias da 3 + 3 = 6. La respuesta es 4 + 6 i .

Ejemplo: Calcule z 2 + z 3 + z 4 .

Primero, sustituya:

Luego, podemos quitar el paréntesis (propiedad asociativa):

¿Viste dónde el + (- 2 – 4 i ) se convirtió en -2 – 4 i ? Podemos pensar en + (- 2 – 4 i ) como +1 veces (-2 – 4 i ). El +1 multiplicado por (-2 – 4 i ) da -2 – 4 i .

Ahora, podemos reordenar la suma (propiedad conmutativa):

Sumando las partes reales da -3 + 4 – 2 = -1. Sumando las partes imaginarias, 2 – 2 – 4 = -4. La respuesta es -1 – 4 i .

Restar números complejos

Restar números complejos es muy parecido a sumar números complejos. He aquí un ejemplo:

Ejemplo: calcular z 1 – z 3

Sustituyendo:

Quite los paréntesis (propiedad asociativa):

¿Viste dónde el – (4 – 2 i ) se convirtió en -4 + 2 i ? La propiedad distributiva actúa aquí. El – (4 – 2 i ) es lo mismo que -1 por (4 – 2 i ). -1 multiplicado por (4 – 2 i ) da (-1) (4) + (-1) (- 2 i ) = -4 + 2 i .

Reordenando la suma (propiedad conmutativa):

Sumando las partes reales da 2 – 4 = -2. Sumando las partes imaginarias, 3 + 2 = 5. La respuesta es -2 + 5 i .

Multiplicar números complejos

Multipliquemos dos números complejos.

Ejemplo: calcular z 2 x z 4

Sustituyendo:

Cada término del primer paréntesis multiplica el segundo paréntesis (propiedad distributiva). Por lo tanto, tanto el -3 como el + 2i multiplican el segundo paréntesis:

Utilice la propiedad distributiva para expandir:

¿Ves cómo 2 i por -4 i se convierte en -8 i 2 en el segundo paréntesis? Reemplaza i 2 con -1. Entonces, -8 por -1 = +8:

Luego, reordenamos la suma (propiedad conmutativa):

Sumando las partes reales da 6 + 8 = 14. Sumando las partes imaginarias, 12 – 4 = 8. La respuesta es 14 + 8 i .

Resumen de la lección

Un número complejo tiene una parte real y una imaginaria . La parte imaginaria es el número que multiplica i donde el valor de i es la raíz cuadrada de uno negativo.

Se utilizan tres propiedades matemáticas para evaluar la suma, la diferencia y el producto de números complejos. Estas propiedades son la propiedad conmutativa , que establece que los números se pueden sumar o multiplicar en cualquier orden, la propiedad asociativa , que establece que los números se pueden agrupar como queramos al sumar o multiplicar, y la propiedad distributiva donde la multiplicación se distribuye sobre una suma. .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador