¿Que son las Ecuaciones Simultáneas? Definición y ejemplos

Ecuaciones simultáneas

Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de dos o más ecuaciones algebraicas que comparten variables y se resuelven simultáneamente. Esta lección se centrará en ecuaciones simultáneas con dos variables. La regla para resolver ecuaciones simultáneas es que debe haber el mismo número de ecuaciones que variables. Dado que esta lección se centra en ecuaciones simultáneas de dos variables, cada problema contendrá dos ecuaciones. Las ecuaciones de dos variables son ecuaciones lineales. Se consideran ecuaciones lineales ya que representan rectas. La solución de ecuaciones simultáneas es el único punto o valor que satisface ambas ecuaciones.

Hay tres resultados diferentes al resolver ecuaciones simultáneas:

1. Una solución: esto ocurre cuando ecuaciones simultáneas tienen dos ecuaciones distintas que utilizan las mismas variables.
2. Sin solución: esto ocurre cuando ecuaciones simultáneas tienen pendientes paralelas entre sí (pendientes recíprocas opuestas). Esto también ocurre cuando las ecuaciones simultáneas no comparten variables.
3. Soluciones infinitas: esto ocurre cuando ecuaciones simultáneas producen exactamente la misma ecuación. Como representan la misma ecuación, representan la misma recta, lo que significa que todos los puntos de la recta son soluciones.

Dos formas de ecuaciones lineales con las que debe familiarizarse son:

Dada la breve introducción de las ecuaciones simultáneas, aquí hay un ejemplo de un problema escrito que representa una ecuación simultánea:

• Ricitos de Oro y los Tres Osos se presentará en la escuela primaria local este fin de semana. Este año la escuela logró ventas récord al vender 400 entradas. Un boleto de adulto, a, cuesta $8 por boleto y un boleto de niño, c, cuesta $5 por boleto. Si las ventas totales de la obra escolar fueron de $2450, ¿cuántos boletos para adultos y niños se compraron?

Nota:

• Este problema informa al lector cuántos boletos se vendieron, el costo de cada boleto y las ventas totales; sin embargo, la única manera de resolver este problema es estableciendo dos ecuaciones que dependan una de la otra para una solución. Una vez que se adquieran las habilidades para resolver ecuaciones simultáneas, se ilustrará la solución a este problema.

Cómo resolver ecuaciones simultáneas

Hay tres métodos mediante los cuales se pueden resolver ecuaciones simultáneas: método de eliminación, método de sustitución y método de gráficas. No importa qué método se utilice, cada método conducirá a la misma respuesta; sin embargo, hay ocasiones en las que un método conduce a cálculos más simples. La elección del método más sencillo tiene que ver con cómo se configuran las ecuaciones. A continuación se ofrecen algunas reglas básicas que le ayudarán a elegir el método más sencillo.

Ecuaciones simultáneas en forma estándar:

El método de eliminación o el método de sustitución suelen ser más fáciles de realizar cuando las ecuaciones simultáneas están en forma estándar.

• Cuando una de las variables tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, el método de eliminación funciona mejor.
• Cuando las variables no tienen los mismos coeficientes en ninguna de las ecuaciones, el método de eliminación funciona mejor.
• Cuando al menos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones no tiene coeficiente, es decir, el coeficiente es 1, el método de sustitución funciona mejor.

Ecuaciones simultáneas en forma pendiente-intersección:

• El método gráfico es más fácil de realizar cuando las ecuaciones simultáneas están en forma pendiente-intersección. Si no hay un gráfico disponible y la persona que resuelve el problema no desea dibujar uno, el método de sustitución sería la siguiente mejor opción.

Método de eliminación

El método de eliminación es uno de los métodos utilizados para resolver ecuaciones simultáneas; en este método se elimina temporalmente una variable para resolver la otra variable. Una vez que se encuentra el valor de la primera variable, ese valor se vuelve a sustituir en la ecuación para resolver la otra variable. Una variable se elimina haciendo que el coeficiente de una de las variables coincida en valor numérico, pero tenga signos opuestos, en ambas ecuaciones. Si los coeficientes tienen el mismo número, pero signos opuestos, entonces, cuando se suman las ecuaciones, una variable se cancelará. En este punto resulta fácil resolver la variable que queda.

Ejemplos de cuándo el método de eliminación es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas:

3x + 12y = 20

4x – 12y = 13

El método de eliminación es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas porque los términos y tienen el mismo coeficiente con signos opuestos, por lo que al sumar estas ecuaciones los términos y se cancelan inmediatamente y luego resolver el término x es simple. Una vez que se encuentra el valor del término x, ese valor se sustituye en una de las ecuaciones para encontrar el valor de y.

4x + 4y = 12

-2x – 8y = 3

Estas ecuaciones simultáneas también se resuelven mejor utilizando el método de eliminación porque los términos x se pueden eliminar fácilmente multiplicando la segunda ecuación por 2; Además, los términos y podrían eliminarse fácilmente multiplicando la primera ecuación por 2. Cualquiera de las opciones de eliminación está bien, es solo una preferencia personal.

Método gráfico

El método gráfico es otra forma de resolver ecuaciones simultáneas; En este método, se utiliza la forma pendiente-intersección de una línea para simplificar el proceso de representación gráfica. Si las ecuaciones simultáneas ya están en forma pendiente-intersección, entonces para resolverlas usando el método gráfico, simplemente trace las líneas en una gráfica. La intersección de las líneas es la solución. En el caso de ecuaciones simultáneas que no están en forma pendiente-intersección (por ejemplo, y = mx + b), primero transfiera las ecuaciones a la forma pendiente-intersección, luego represente ambas rectas y finalmente identifique la intersección. Las líneas se grafican identificando la intersección y de ‘b’. Primero se trazará la intersección con el eje y, colocando un punto en (0, b ). Una vez que se traza la intersección con el eje y, la pendiente m describirá cómo moverse desde ese punto, donde el número superior representa el ascenso (movimiento hacia arriba o hacia abajo) y el número inferior representa la carrera (movimiento hacia la derecha+ o hacia la izquierda). Siguiendo el movimiento adecuado de la pendiente, se trazará el segundo punto. Eso es todo, todo lo que se necesita para trazar una línea son 2 puntos. Ahora conecta los 2 puntos con una línea (no olvides las flechas en cada extremo, ya que las líneas continúan para siempre).

Ejemplo de cuándo el método gráfico es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas:

y=5x – 3

y=2x + 1

El método gráfico es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas porque las ecuaciones ya están en forma pendiente-intersección. Como tal, graficar estas líneas se vuelve bastante simple. Identifica la intersección y de cada ecuación. Identifica la pendiente de cada ecuación. Coloque el primer punto en la intersección y (0, b ), siga la dirección de la pendiente m para colocar un segundo punto, conecte los puntos para formar una línea. Una vez que se trazan ambas líneas del gráfico, el punto de intersección es la solución.

Método de sustitución

El método de sustitución es la última forma de resolver ecuaciones simultáneas. En el método de sustitución, una variable se resuelve en términos de la otra variable. Una vez que se resuelve una ecuación para una variable en términos de la otra variable, la expresión dada para esa variable se sustituye en la otra ecuación de las ecuaciones simultáneas. Al hacer esto, la ecuación ahora está en términos de una sola variable, lo que facilita su resolución. Una vez que se resuelve esta ecuación para su variable, el valor numérico de esa variable se sustituye nuevamente en una de las ecuaciones originales para resolver la otra variable.

Ejemplos de cuándo el método de sustitución es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas:

y=2x – 5

3x + 2y = 6

El método de sustitución es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas porque la primera ecuación ya tiene la variable y resuelta en términos de la variable x. Ahora, esa expresión para y se sustituye en la otra ecuación en lugar de y. Esa ecuación ahora está solo en términos de x, lo que facilita la resolución de x. Una vez que se encuentre el valor de x, ese valor se sustituirá nuevamente en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de y.

x – 2y = 4

3x + 2y = 10

El método de sustitución es el método más sencillo para resolver ecuaciones simultáneas porque la primera ecuación se puede resolver fácilmente para x sumando 2y a ambos lados.

Ejemplos de ecuaciones simultáneas

Se han discutido las instrucciones para resolver ecuaciones simultáneas usando los tres métodos; ahora es el momento de resolver ecuaciones simultáneas usando cada método.

Ejemplo de método de eliminación:

5x + 6y = 12

3x + 2y = 8

Al observar este problema, ambas ecuaciones están en forma estándar; por lo tanto, de la lista de reglas básicas, el método de eliminación o sustitución funcionaría mejor. En este caso, el método de eliminación funciona mejor porque los coeficientes de cada variable son diferentes en cada ecuación.

• Primero, encuentre un número que pueda multiplicarse por una o ambas ecuaciones, de modo que el coeficiente de una de las variables tenga el mismo coeficiente, pero con el signo opuesto. En este caso, si la segunda ecuación se multiplica por -3, entonces el término y tendrá un coeficiente de -6; en la primera ecuación, el término y tiene un coeficiente de 6, por eso multiplicar la segunda ecuación por -3 es la mejor opción para comenzar el método de eliminación:

-3(3x + 2y = 8) usa la propiedad distributiva

-9x -6y = -24

• Ahora que una de las ecuaciones ha sido cambiada para eliminación, suma las dos ecuaciones:

5x + 6y = 12

-9x -6y = -24

{eq}\regla{3cm}{0,5pt} {/eq}

-4x = -12

{eq}\frac{-4x}{-4}=\frac{-12}{-4} {/eq}

x = 3

• Ahora, el valor de x se introduce en una de las ecuaciones originales para resolver y:

5x + 6y = 12

{eq}5{\color{Rojo}{(3)}}+6y=12 {/eq}

15 + 6 años = 12

15 – 15 + 6 años = 12 – 15

6 años = -3

{eq}\frac{6y}{6}=-3 {/eq}

{eq}y=\frac{-1}{2} {/eq}

• La solución de las ecuaciones simultáneas es:

x=3 y {eq}y=\frac{-1}{2} {/eq} o en forma de par ordenado (3,{eq}\frac{-1}{2}) {/eq}

Ejemplo de método gráfico:

Eche un vistazo a este conjunto de ecuaciones simultáneas:

x + y = -1

-3x + y = -5

• Las ecuaciones simultáneas no están en forma pendiente-intersección, están en forma estándar, así que primero transfiera estas ecuaciones a la forma pendiente-intersección:

y = -x – 1

y = 3x – 5

• Identifica la pendiente y la intersección con el eje y para cada ecuación:

• Traza la gráfica de cada línea:

1. Marque la intersección con el eje y (0,b).
2. Usa la pendiente para moverte desde la intersección con el eje y hasta el siguiente punto de la gráfica.
3. Conecta los puntos con una línea.
4. Identifica dónde se cruzan las líneas, esa es la solución de las ecuaciones simultáneas.

• La primera ecuación representa una línea que tiene una intersección con el eje y en el punto (0,-1) y la pendiente describe el movimiento de bajar 1 y hacia la derecha 1, lo que coloca el siguiente punto en (1,-2). La segunda ecuación representa una línea que tiene una intersección con el eje y en el punto (0,-5) y la pendiente describe el movimiento de subir 3 y hacia la derecha 1, lo que coloca el siguiente punto en (1,-2).
• La solución de las ecuaciones simultáneas.

La intersección de estas dos rectas está en el punto (1,-2); por lo tanto, la solución a este conjunto de ecuaciones simultáneas es (1,-2) o x=1 e y=-2

Ejemplo de método de sustitución:

Eche un vistazo a este conjunto de ecuaciones simultáneas:

2x + y = 10

x + y = 4

• En este conjunto de ecuaciones simultáneas, ambas ecuaciones se pueden resolver fácilmente para una de las variables. Sin embargo, es más fácil trabajar con la segunda ecuación porque no hay coeficientes con los términos x o y. En este ejemplo, la segunda ecuación se resolverá para x en términos de y

x + y = 4

x + y – y = 4 – y

x = 4 – y

• La expresión que es igual a x se sustituye en la primera ecuación por x.

2{eq}\color{Rojo}{(4 – y) } {/eq}+ y = 10

8 – 2y + y = 10

8 – y = 10

8 – 8 – y = 10 – 8

-y = 10 – 8

-y = -8

y=8

• Sustituye 8 en una de las ecuaciones originales por y para encontrar el valor de x:

x + {eq}\color{Rojo}{8 } {/eq} = 4

x + 8 – 8 = 4 – 8

x = -4

• La solución de las ecuaciones simultáneas es:

x=-4 e y=8 o en forma de par ordenado (-4,8)

Problema verbal de ecuaciones simultáneas

Habiendo aprendido a resolver ecuaciones simultáneas, volvamos al problema planteado desde el principio de la lección.

• Ricitos de Oro y los Tres Osos se presentará en la escuela primaria local este fin de semana. Este año la escuela logró ventas récord al vender 400 entradas. Un boleto de adulto, a , cuesta $8 por boleto y un boleto de niño, c , cuesta $5 por boleto. Si las ventas totales de la obra escolar fueron de $2450, ¿cuántos boletos para adultos y niños se compraron?
• a + c = 400, donde a representa boletos para adultos, c representa boletos para niños y 400 representa el total de boletos vendidos.
• 8a + 5c = 2450, donde 8a representa el costo de un boleto de adulto, 5c representa el costo de un boleto de niño y 2450 representa las ventas totales.

ecuaciones simultáneas:

a + c = 400

8a + 5c = 2450

• Usando el método de sustitución, resuelve la primera ecuación para

a + c = 400

a + c – c = 400 – c

a = 400 – c

• Sustituye la expresión por a en la otra ecuación.

{eq}8\color{Rojo}{(400-c)} + 5c = 2450 {/eq}

3200 – 8c + 5c = 2450

3200 – 3c = 2450

3200 – 3200 – 3c = 2450 – 3200

-3c = -750

{eq}\frac{-3c}{-3}=\frac{-750}{-3} {/eq}

c = 250

• Sustituye el valor de c en la otra ecuación para encontrar a.

a + c = 400

a + {eq}\color{Rojo}{250} {/eq} = 400

un + 250 – 250 = 400 – 250

a = 150

• La solución de las ecuaciones simultáneas es:

a=150 y c=250 o en forma de par ordenado (150, 250)

Esto significa que se compraron 150 entradas de adulto y 250 entradas de niño.

Errores comunes al resolver ecuaciones simultáneas

Resolver ecuaciones simultáneas requiere mucha manipulación de números, expresiones y ecuaciones. Debido a esto, resulta bastante fácil cometer un simple error que conduzca a una respuesta incorrecta. Los siguientes son errores comunes al resolver ecuaciones simultáneas.

Errores del método de eliminación.

1. Asegúrate de multiplicar toda la ecuación por el número, no solo el término que se elimina.
2. Vigila las señales, sólo se eliminan las señales contrarias.

Errores del método de sustitución

1. Al sustituir una expresión por una variable, asegúrese de que toda la expresión se multiplique por el coeficiente, no solo el primer término de la expresión.

Errores del método gráfico

1. No mezcle x e y en la gráfica: x es el primer número de un par ordenado y se representa gráficamente a lo largo del eje horizontal, y es el segundo número de un par ordenado y se representa gráficamente a lo largo del eje vertical.
2. Tenga cuidado al seguir una pendiente; es {eq}\frac{rise}{run} {/eq}. El número superior representa moverse hacia arriba+ o hacia abajo- y el número inferior representa moverse hacia derecha+ o izquierda-.

Resumen de la lección

Las ecuaciones simultáneas son dos o más ecuaciones algebraicas que comparten las mismas variables y se resuelven juntas. El número de variables debe coincidir con el número de ecuaciones en ecuaciones simultáneas. Una ecuación depende de la otra ecuación para obtener una respuesta. Solo hay 3 soluciones posibles para ecuaciones simultáneas: una solución (dos ecuaciones únicas), ninguna solución (ecuaciones que representan rectas paralelas) y soluciones infinitas (ecuaciones que representan la misma recta). Hay 3 métodos para resolver ecuaciones simultáneas: el método de eliminación, el método de gráficas y el método de sustitución. El método de eliminación se usa mejor cuando los coeficientes de la misma variable se eliminan fácilmente, el método de gráficas se usa mejor cuando las ecuaciones simultáneas están en forma pendiente-intersección y el método de sustitución se usa mejor cuando una variable ya está resuelta en términos de otra variable. Se requiere mucha manipulación de números y letras para resolver ecuaciones simultáneas, por lo que es importante prestar atención a los detalles cuando se trata de números positivos y negativos, sustitución de valores y expresiones y gráficos en el plano de coordenadas xy.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador