¿Qué son los exponentes? – Definición, propiedades y reglas

¿Qué son los exponentes?

Comencemos esta lección escribiendo lo siguiente en una hoja de papel: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Después del cuarto o quinto 3, probablemente empezaras a aburrirte o enfadarte al intentar escribir la expresión completa. Solo sepa, definitivamente no está solo en estos sentimientos. En lugar de tomarse el tiempo para escribir largas cadenas de números como el anterior, los matemáticos decidieron crear el exponente. Un exponente es solo una forma abreviada de decir multiplicar lo mismo por sí mismo durante un número específico de veces. Mirando el ejemplo, vemos que el número 3 se multiplica por sí mismo 15 veces. Usando exponentes, podemos escribir esto de dos maneras. El primero es utilizar un superíndice. Comience escribiendo el número que se está multiplicando (3) y luego el número de veces que se está multiplicando (15) como superíndice, como se muestra aquí. 3 15 El segundo método para escribir exponentes, y el que más se encontrará a lo largo de esta lección, es el uso de un símbolo de intercalación o sombrero. En lenguaje informático, esto es mucho más fácil de crear que el superíndice. Al igual que con el superíndice, comienzas escribiendo el número que se está multiplicando, seguido del signo de intercalación y luego el número de veces que se está multiplicando. Usando nuestro ejemplo, escribiríamos el exponente como 3 15 . Como sucede con muchas cosas en matemáticas, existe un conjunto de reglas o propiedades que gobiernan cómo usamos los exponentes. En el caso de esta lección, discutiremos siete de estas propiedades y exploraremos ejemplos de cómo funcionan estas reglas. Sin embargo, no se preocupe, incluiré una tabla con todas las propiedades al final para ayudarlo a organizar todo. A lo largo de esta lección, experimentará el siguiente vocabulario importante:

• La base se define como el número que se multiplica por sí mismo.
• El exponente se define como el número de veces que multiplicas la base.

En el ejemplo, nuestra base sería el número 3 porque se está multiplicando repetidamente, y nuestro exponente sería el número 15 porque describe el número de veces que 3 se multiplica por sí mismo.

Exponentes cero y negativos

Primero, veamos la propiedad cero de los exponentes . Esta es probablemente una de las propiedades más fáciles de recordar cuando se trata de exponentes. En términos simples, significa que siempre que un número se multiplica por sí mismo 0 veces, la respuesta siempre será 1. Esto está escrito como: a 0 = 1 Sin embargo, es importante tener en cuenta que a no puede ser igual a 0 para que esta propiedad funcione. Algunos ejemplos incluyen:

• 4 0 = 1
• 7 0 = 1
• 2 0 = 1
• 675 0 = 1

Exponentes negativos

Nuestra siguiente propiedad, la propiedad negativa de los exponentes, también es bastante sencilla. Establece que cada vez que experimentas un exponente negativo, el número que estás multiplicando se convierte en una fracción. Por ejemplo, se le puede dar el siguiente exponente, 3 (-2) . Esto significa que debemos reescribir nuestro exponente como una fracción: 1/3 2 Una vez que reescribimos el exponente, podemos encontrar nuestra solución. En este caso, estamos multiplicando el número 3 por sí mismo dos veces, por lo que nuestra solución es: 3 (-2) = 1 / (3 2 ) = 1 / (3 * 3) = 1/9 La propiedad en sí está escrita como: a ( b ) = 1 / a b Nuevamente, es importante tener en cuenta que a no puede ser igual a cero para que esta propiedad funcione.

Propiedades del producto

Hay dos reglas que tratan con el producto (o multiplicación) de dos números. Uno se utiliza cuando los exponentes tienen la misma base, mientras que el otro se utiliza cuando los propios exponentes son iguales.

Producto de poderes

La propiedad del producto de potencias se usa cuando ambos números tienen la misma base pero diferentes exponentes. Usemos 2 2 * 2 4 como ejemplo. En ambos números, tenemos la misma base de 2. La regla del producto de potencias nos dice que podemos mantener esta misma base y sumar nuestros exponentes. Así: 2 2 * 2 4 = 2 2 + 4 Ahora que hemos reescrito la expresión, podemos resolverlo para obtener una solución: 2 2 * 2 4 = 2 2 + 4 = 2 (6) = 64 La propiedad en sí está escrita como: a b * a c = a ( b + c ) Al igual que con las dos propiedades anteriores, a no puede ser igual a 0 para que esta propiedad funcione.

Poder de un producto

La propiedad de la potencia de un producto se usa cuando tenemos diferentes bases pero el mismo exponente. Usemos 3 x 5 2 como ejemplo. En ambos números, tenemos el mismo exponente de 2. La regla de la potencia del producto nos dice que podemos mantener este mismo exponente y multiplicar nuestras dos bases juntas. Así: 3 2 * 5 2 = (3 * 5) 2 Ahora que hemos reescrito la expresión, podemos resolverlo para obtener una solución de: 3 2 * 5 2 = (3 * 5) 2 = (15) 2 = 225 La propiedad en sí está escrita como: b una x c una = ( segundo x c ) una En este caso, b y c no puede ser igual a 0 para esta propiedad al trabajo.

Propiedades del cociente

De manera similar a los productos, también debemos tener un conjunto de reglas para cuando trabajamos con cocientes o la división de dos números exponenciales. Nuevamente, una propiedad se usa cuando los números tienen la misma base y la otra propiedad se usa cuando los exponentes son iguales.

Cociente de poderes

La propiedad del cociente de potencias se usa cuando ambos números tienen la misma base pero diferentes exponentes. Esta regla sigue muy de cerca la propiedad del producto de potencias. Uso de Let 3 5 /3 2 como un ejemplo. Al igual que con la propiedad del producto de potencias, mantenemos nuestra base de 3, pero en cambio, restamos nuestros exponentes en lugar de sumarlos. Así: 3 5 /3 2 = 3 (5 – 2) Ahora que hemos reescrito la expresión, podemos resolverlo para obtener una solución de: 3 5 /3 2 = 3 (5 – 2) = 3 (3) = 27 La propiedad en sí está escrita como: a b / a c = a ( b – c ) Tenga en cuenta que a no puede ser igual a 0 para que esta propiedad funcione.

Potencia de un cociente y potencia de una potencia

La propiedad de la potencia de un cociente se usa cuando ambos números tienen bases diferentes pero el mismo exponente. Esta regla sigue muy de cerca la potencia de una propiedad del producto. Uso de Let 8 2 /4 2 como un ejemplo. Al igual que con la propiedad de la potencia de un producto, mantenemos nuestro mismo exponente de 2, pero como estamos trabajando con la división, vamos a dividir nuestras bases en lugar de multiplicarlas. Así: 8 2 /4 2 = (8/4) 2 Ahora que hemos reescrito la expresión, podemos resolverlo para obtener una solución de: 8 2 /4 2 = (8/4) 2 = (2) 2 = 4 La propiedad en sí está escrita como: b a / c a = ( b / c ) a Tenga en cuenta que b y c no puede ser igual a 0 para esta propiedad al trabajo.

Poder de un poder

Sé que ha sido un largo camino, ¡pero finalmente hemos llegado a nuestra propiedad final! En la propiedad de la potencia de una potencia, encontrará un número exponencial elevado a otro exponente. Por ejemplo, puede ver (4 6 ) 3 . Esto significa que multiplicamos el número 4 por sí mismo 6 veces, y luego hacemos esto por un total de 3 veces. Sé que suena un poco loco, pero hay una manera muy fácil de simplificar esta expresión para que pueda resolverse en poco tiempo. La potencia de una regla de potencia nos dice que cuando nos encontramos con una situación como la anterior, podemos simplemente multiplicar los dos exponentes juntos y luego trabajar la solución a partir de ahí. Entonces, (4 6 ) 3 = 4 (6 * 3) Ahora que hemos reescrito la expresión, podemos resolverlo para obtener una solución de: (4 6 ) 3 = 4 (6 * 3) = 4 (18) = 68,719,476,736 No hay notas al margen relacionadas con 0 para esta propiedad.

Resumen de la lección

¡Lo hiciste! En esta lección, no solo aprendiste lo que significa un exponente, sino también las siete propiedades que debes seguir al trabajar con exponentes. Según lo prometido, encontrará un cuadro con estas siete reglas para una referencia rápida. Date una palmadita en la espalda, porque acabas de cubrir una gran cantidad de material y ahora eres un experto en trabajar con exponentes.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador