¿Qué son los números triangulares? – Definición, fórmula y ejemplos

Definición de números triangulares

Los números triangulares, como se muestra en la imagen aquí, son un patrón de números que forman triángulos equiláteros. Cada número subsiguiente de la secuencia agrega una nueva fila de puntos al triángulo.

Es importante notar que en este caso, n es igual al término en la secuencia. Entonces, n es igual a 1 es el primer término, n es igual a 5 es el quinto término, n es igual a 256 es el término 256. Lo crea o no, podemos utilizar esta n para averiguar cuántos puntos hay en su triángulo correspondiente (es decir, su número triangular).

Secuencia de conteo

Antes de juntar la fórmula utilizada para encontrar cualquier término en nuestro patrón, primero veamos si podemos encontrar un patrón de conteo en nuestros primeros cuatro términos. Para hacer esto, veamos el número de puntos en cada fila aquí:

Si continuamos con este patrón, ¿cómo sería nuestro quinto mandato?

n = 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ahora, es posible que haya notado una relación entre el término y el último número en nuestra secuencia de conteo. ¡Son el mismo número! Es posible que también haya notado que cada adición cuenta hacia atrás desde allí.

Usemos esta lógica entonces, para ver nuestro cuarto término:

n = 4: 1 + 2 + 3 + 4

Sabemos que el último número de nuestra secuencia de conteo es cuatro. Comenzando con nuestros cuatro y contando hacia atrás, podemos reescribir esta secuencia como:

n = 4: (4 – 3) + (4 – 2) + (4 – 1) + 4

Yendo un paso más allá, podemos aplicar esto a cualquier término de nuestra secuencia. Esto significa que:

n º plazo = 1 + 2 + 3 + … + ( n – 3) + ( n – 2) + ( n – 1) + n

Si eres como yo, es posible que prefieras escribir esta secuencia al revés para que puedas aplicarla fácilmente a otros números triangulares.

n º plazo = n + ( n – 1) + ( n – 2) + ( n – 3) + … + 3 + 2 + 1

Intentemos aplicar esta secuencia de conteo al octavo número triangular.

n = 8: 8 + (8 – 1) + (8 – 2) + (8 – 3) + (8 – 4) + (8 – 5) + (8 – 6) + (8 – 7) + (8 – 8)

n = 8: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0

Cuando sumamos todos estos, nuestro octavo número triangular es 36. Esto significa que el octavo triángulo equilátero en la secuencia tiene 36 puntos.

Si bien esta es una forma sencilla de encontrar un número triangular, puede resultar difícil cuando se trabaja con números más grandes porque aumenta la cantidad que debemos sumar. En este caso, tenemos que usar una fórmula.

Fórmula del número triangular

Para encontrar la fórmula de los números triangulares, primero debemos duplicar el número de puntos en cada triángulo equilátero para crear un rectángulo. Si bien el razonamiento detrás de esto podría no estar claro todavía, definitivamente comprenderá nuestra necesidad de un rectángulo un poco más adelante en esta sección.

En la imagen aquí, nuestros triángulos originales están en rojo con su doble en morado para crear el rectángulo. Pensando en nuestra secuencia de conteo, recordamos que el término, n, es el mismo que la fila más larga de puntos. En la imagen aquí, podemos ver que un lado del rectángulo está etiquetado como nuestros n puntos, mientras que el otro lado está etiquetado como n + 1 puntos.

Tomemos el tercer término, por ejemplo; el tercer triángulo equilátero tiene un lado de tres puntos y el otro de (3 + 1) o cuatro puntos.

Para nuestra fórmula, usaremos la variable T para definir nuestro número triangular (o el número de puntos en cada triángulo equilátero). Esto es lo que la fórmula nos está ayudando a resolver.

Debido a que hemos duplicado el número de puntos en cada triángulo para crear un rectángulo, debemos duplicar nuestra camiseta también. Esto nos da 2 T.

Ahora, para encontrar el número total de puntos, debemos encontrar el área de cada rectángulo. Esta es la razón por la que doblamos cada triángulo equilátero para crear rectángulos. Es mucho más fácil usar la fórmula del área para encontrar el número total de puntos en un rectángulo que para encontrar el número total de puntos en un triángulo equilátero. Usando nuestra fórmula de área para un rectángulo (Área = largo x ancho), obtendríamos:

Área = ( n ) ( n + 1) o,

2 T = ( n ) ( n + 1)

Recuerde, nuestro número total de puntos es 2 T, por lo que podemos insertar esto en nuestra fórmula como nuestra área.

Para obtener nuestra T por sí sola, debemos dividir ambos lados entre 2 para obtener una fórmula final de:

T = ( n ) ( n + 1) / 2

El Decimonoveno Número Triangular

Ahora que toda la información de fondo ha terminado y finalmente tenemos nuestra fórmula, podemos comenzar a aplicarla para encontrar cualquier número triangular que queramos.

Digamos que queremos encontrar el decimonoveno número triangular.

Sabemos que el decimonoveno número triangular tiene n = 19. Podemos reemplazar 19 en nuestra fórmula para encontrar nuestro número triangular para el decimonoveno triángulo equilátero.

T = ( n ) ( n + 1) / 2

T = (19) (19 + 1) / 2

T = (19) (20) / 2

T = 380/2

T = 190

Esto significa que el decimonoveno número triangular de la secuencia es 190.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió que los números triangulares son simplemente el patrón de puntos que forman una serie de triángulos equiláteros. Incluso dio un paso más al aplicar una fórmula básica para encontrar cualquier término en el patrón, lo que implica duplicar la cantidad de puntos que tiene el triángulo equilátero. La fórmula es simplemente:

T = ( n ) ( n + 1) / 2

Ahora, pruebe sus conocimientos y experiencia en el cuestionario adjunto.

Acerca de los números triangulares

• Los números triangulares son un patrón de números que forman triángulos equiláteros.
• La fórmula para calcular el n-ésimo número triangular es: T = ( n ) ( n + 1) / 2.

Los resultados del aprendizaje

Vea esta lección y absorba su contenido para lograr estos objetivos:

• Recuerda la definición de un número triangular
• Entender la secuencia de conteo
• Escribe la ecuación para calcular un número triangular
• Calcula el enésimo término en un patrón de triángulos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador