Raíz cuadrada: signo, reglas y problemas

Características básicas de las raíces cuadradas

Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia y, como cualquier idioma, hay términos y reglas que debes dominar para hablarlo con fluidez. Exploraremos los términos y reglas que necesitará para seguir cualquier conversación básica que involucre signos de raíz cuadrada . Como cualquier signo, los signos de raíz cuadrada intentan decirnos algo. Nos están diciendo que busquemos las raíces cuadradas de los números que estén debajo de ellos, y los números debajo de un signo de raíz cuadrada se llaman radicando .

En cuanto a las raíces cuadradas, un número r es una raíz cuadrada de un número x si r ^ 2 = x. Según esta definición, un número positivo en realidad tiene dos raíces cuadradas: un número positivo y el negativo de ese número positivo. Por ejemplo, los números 5 y -5 son raíces cuadradas de 25 porque 5 ^ 2 = 25 y (-5) ^ 2 = 25. Puedes pensar en cada raíz positiva como si tuviera un gemelo malvado negativo. Sin embargo, nos centraremos en lo positivo y limitaremos nuestra conversación a las raíces cuadradas principales , las raíces cuadradas positivas de los números positivos. Por ejemplo, la raíz cuadrada principal de 25 es 5. Además, no cubriremos las raíces cuadradas de números negativos, lo que requeriría una discusión sobre números imaginarios, una conversación para otro día. Ahora, aprendamos a hablar el idioma de las raíces cuadradas.

Reconociendo cuadrados perfectos

Al hablar cualquier idioma, es bueno saber la versión más simple de lo que quiere decir. Los cuadrados perfectos nos proporcionan una forma de encontrar las versiones más simples de las expresiones de raíz cuadrada. Un radicando es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada principal es un número entero. Por ejemplo, 16 es un cuadrado perfecto porque su raíz cuadrada principal es 4. El número 26 no es un cuadrado perfecto porque su raíz cuadrada principal (aproximadamente 5,1) no es un número entero. Para visualizar la idea de cuadrados perfectos, observe los siguientes cuadrados. Se puede visualizar cualquier cuadrado perfecto ( r ^ 2) como un r -by- r rejilla, donde r es un entero. Por ejemplo, 4 unidades cuadradas del mismo tamaño se pueden mostrar como un cuadrado en una cuadrícula de 2 por 2. Una cuadrícula de 3 por 3 le da 9 cuadrados, una cuadrícula de 4 por 4 le da 16 cuadrados, y así sucesivamente. Sin embargo, no puede mostrar un número que no sea un cuadrado perfecto, como 26, de la misma manera. No hay una cuadrícula de r- por- r cuadrado que le dará 26 cuadrados.

Reconocer cuadrados perfectos es importante porque nos ayuda a simplificar expresiones de raíces cuadradas más complejas. En lugar de decir «La raíz cuadrada de 16», es más sencillo decir «4».

Simplificación de expresiones de raíz cuadrada

Una expresión de raíz cuadrada se considera simplificada una vez que cumple dos condiciones: 1) Los radicandos no tienen factores cuadrados perfectos distintos de 1 y 2) No hay signos de raíz cuadrada en el denominador. Lo que realmente significa nuestra primera condición es que estamos buscando cuadrados perfectos bajo el signo de la raíz cuadrada. Podemos sacar esos cuadrados perfectos de debajo del signo de la raíz cuadrada y escribirlos como números enteros. Por ejemplo, para simplificar la raíz cuadrada de 200, querrás encontrar los factores cuadrados perfectos de 200. Podemos escribir 200 como 2 * 100. ¿2 es un cuadrado perfecto? No, su raíz cuadrada principal no es un número entero. ¿Es 100 un cuadrado perfecto? ¡Sí, su raíz cuadrada principal es 10! Saquemos ese 100 de debajo del signo del radical y escribamos como 10. Entonces, la raíz cuadrada de 200 se puede simplificar a 10 veces la raíz cuadrada de 2.

Eso no parecía demasiado difícil, pero ¿qué pasaría si nos pidieran simplificar la raíz cuadrada de 2 veces la raíz cuadrada de la cantidad 200 dividida por 3. No se deje intimidar? Además de reconocer cuadrados perfectos, hay dos propiedades que nos ayudarán a realizar esta tarea.

Si a es mayor que 0 y b es mayor que 0, entonces podemos usar las siguientes propiedades para simplificar expresiones de raíz cuadrada:

Primero, tenemos la propiedad del cociente , donde la raíz cuadrada de a / b es igual a la raíz cuadrada de a dividida por la raíz cuadrada de b .

También tenemos la propiedad del producto , donde la raíz cuadrada de a * b es la misma que la raíz cuadrada de a por la raíz cuadrada de b. Podemos usar la propiedad del cociente para ayudar con la raíz cuadrada de la cantidad 200 dividida por 3 partes de nuestro problema. Siguiendo esta propiedad, podemos reescribir esta parte como la raíz cuadrada de 200 dividida por la raíz cuadrada de 3. Sabemos de antes que la raíz cuadrada de 200 se puede simplificar a 10 veces la raíz cuadrada de 2. Así que pongamos eso en nuestra expresión también.

Ahora, tenemos la raíz cuadrada de 2 por 10 veces la raíz cuadrada de 2 en el numerador y la raíz cuadrada de 3 en el denominador. Para simplificar el numerador, podemos usar la propiedad del producto para escribir la raíz cuadrada de 2 por la raíz cuadrada de 2 como la raíz cuadrada de la cantidad 2 por 2. Esto nos da la raíz cuadrada de 4, por lo que ahora tenemos 10 veces la raíz cuadrada de 4 en el numerador. No olvides que 4 es un cuadrado perfecto, así que podemos reescribir la raíz cuadrada de 4 como 2. Esto nos da 20 en nuestro numerador.

¿Terminamos? No, recuerda que no puede haber un signo de raíz cuadrada en el denominador, entonces, ¿cómo nos deshacemos de esa raíz cuadrada de 3? Tenemos que racionalizar el denominador . Esta es una forma elegante de decir que necesitamos multiplicar por alguna versión de 1 para deshacernos de los signos de raíz cuadrada en el denominador. En este caso, multiplicamos toda nuestra expresión por la raíz cuadrada de 3 dividida por la raíz cuadrada de 3.

Multiplicar nuestro denominador por la raíz cuadrada de 3 nos da la raíz cuadrada de 3 por 3 (recuerda la propiedad del producto). Esto nos da la raíz cuadrada de 9 en nuestro denominador, que es solo 3. Nuestra versión final simplificada es 20 veces la raíz cuadrada de 3 sobre 3. Los radicandos no tienen un factor cuadrado perfecto que no sea 1 y no hay signos de raíz cuadrada en el denominador, ¡así que hemos terminado!

Sumar y restar raíces cuadradas

¿Te sientes seguro? Incluso si aún no conoce la solución, la respuesta siempre debería ser sí, así que vamos a introducir un concepto más: sumar y restar raíces cuadradas. Al sumar y restar términos que tienen variables, puede recordar que se supone que debe combinar términos semejantes. Aplicamos este mismo concepto para sumar y restar raíces cuadradas, excepto que combinamos términos que tienen el mismo radicando. Veamos un ejemplo que pone en práctica esto y todo lo demás que ha aprendido. Siéntase libre de pausar el video en cualquier momento y trabajar con el ejemplo usted mismo.

Simplifica el siguiente radical: 6 veces la raíz cuadrada de la cantidad 1 sobre 2 más 4 veces la raíz cuadrada de 18 menos 8 veces la raíz cuadrada de 2. Puede parecer mucho, pero trabajemos en simplificar cada término por sí solo. Podemos usar la propiedad del cociente en nuestro primer término. Esto nos da 6 veces la raíz cuadrada de 1 sobre la raíz cuadrada de 2. La raíz cuadrada de 1 es solo 1, entonces esto es realmente 6 sobre la raíz cuadrada de 2.

Para terminar de simplificar este término, necesitamos racionalizar el denominador para deshacernos del signo de la raíz cuadrada. Multiplique este primer término por la raíz cuadrada de 2 sobre la raíz cuadrada de 2, y verá que este término se simplifica a 3 veces la raíz cuadrada de 2.

Ahora, pasemos al segundo trimestre. Podemos usar la propiedad del producto para ayudarnos a encontrar un cuadrado perfecto. 4 veces la raíz cuadrada de 18 se convierte en 4 veces la raíz cuadrada de 2 veces la raíz cuadrada del cuadrado perfecto 9. La raíz cuadrada de 9 es 3, entonces esto nos da 4 veces 3 veces la raíz cuadrada de 2, o 12 veces la raíz cuadrada de 2.

Bien, veamos nuestro término final, negativo 8 veces la raíz cuadrada de 2. ¿Hay algo que podamos hacer para simplificarlo más? No, el radicando no tiene cuadrados perfectos y ciertamente no hay un signo de raíz cuadrada en el denominador.

Nuestro último paso es sumar y restar estas raíces cuadradas. Recuerda que solo podemos combinar términos que tienen el mismo radicando, pero todos nuestros términos tienen el radicando 2. Esto significa que podemos combinarlos todos y reescribir nuestra expresión como la raíz cuadrada de 2 veces la cantidad 3 + 12 – 8. Esto solo nos da 7 veces la raíz cuadrada de 2, ¡y terminamos! Siempre que lo siga paso a paso y recuerde las reglas de simplificación, pronto hablará el idioma de las raíces cuadradas con fluidez.

Resumen de la lección

En el lenguaje de las matemáticas, los signos de raíz cuadrada nos dicen que encontremos las raíces cuadradas de los números que estén debajo de ellos. El número debajo de un signo de raíz cuadrada es el radicando . Recuerde, un número r es una raíz cuadrada de un número x si r ^ 2 = x . Saber hablar sobre expresiones de raíz cuadrada significa saber ponerlas en términos simples. Ha expresado su expresión de raíz cuadrada en los términos más simples una vez que cumple dos condiciones: 1) Los radicandos no tienen factores cuadrados perfectos distintos de 1 y 2) No hay signos de raíz cuadrada en el denominador. Además de reconocer cuadrados perfectos, hay dos propiedades que ayudan a simplificar expresiones radicales. Si a es mayor que 0 y b es mayor que 0, entonces podemos usar la propiedad del cociente , donde la raíz cuadrada de a / b es igual a la raíz cuadrada de a dividida por la raíz cuadrada de b. También podemos usar la propiedad del producto , donde la raíz cuadrada de a * b es la misma que la raíz cuadrada de a por la raíz cuadrada de b. Además, no olvide racionalizar el denominador o multiplicar por alguna versión de 1 para deshacerse de los signos de raíz cuadrada en el denominador.

Descripción general de la raíz cuadrada

Los resultados del aprendizaje

Concéntrese en los conceptos relacionados con las raíces cuadradas durante esta lección para que posteriormente pueda:

• Reconocer un signo de raíz cuadrada, un radicando y un cuadrado perfecto
• Simplifica y resuelve para una raíz cuadrada
• Utilice el cociente y las propiedades del producto.
• Sumar y restar raíces cuadradas

Rodrigo Ricardo Editor y fundador