Reconociendo la simetría gráfica, algebraica y numéricamente sobre el origen

Simetría en la naturaleza

Cuando cortas una fruta por la mitad, ambos lados de esa fruta serán casi idénticos. Tendrá un número similar de semillas en cada lado, las mismas líneas y forma en cada lado, y cada pieza será un reflejo de la otra.

De hecho, a veces una fruta también se reflejará en un círculo. Mira la naranja de abajo; ¿Ves cómo parece estar formado por varias piezas idénticas que giran alrededor de un centro? La simetría es muy similar a cortar esa fruta por la mitad. La simetría en un gráfico es una réplica exacta o reflejo de una línea.

Puede ver simetría al cortar la fruta por la mitad.

La simetría en un gráfico puede aparecer de muchas formas diferentes. Puede aparecer en el eje x así, o en el eje y así (vea el video entre las 00:46 y las 00:51 para ver cómo aparece esta simetría). La simetría también puede aparecer alrededor del origen de esta manera:

Simetría alrededor del origen

El origen es el punto (0, 0) en un gráfico. Aparece directamente en el centro del gráfico, por lo que se le llama origen.

¿Ves cómo la línea en el gráfico parece girar alrededor del centro, como una mitad naranja (por favor, mira el video de esta rotación en 01:07)? Para que dos líneas o formas sean simétricas con respecto al origen, las líneas o formas deben estar a la misma distancia del centro (o del origen). Las dos líneas, o formas, también deben tener las mismas piezas y las partes se reflejan entre sí en el gráfico. Por ejemplo, si tuviera que hacer una segunda línea simétrica con respecto al origen, necesitaría tomar esta línea y rotarla.

Cada parte de la línea es el espejo opuesto a la línea frente a ella.

Identificar la simetría gráficamente

Eche un vistazo a este gráfico.

¿Es simétrico con respecto al origen? Rotemos esta forma para encontrar la otra forma (vea el video en 01:51). Ahora que hemos rotado la primera forma, las dos formas coinciden exactamente.

¿Qué pasa con este gráfico?

Tiene formas similares, pero ¿es simétrico con respecto al origen? Rotemos las formas (vea el video en 02:08). No, las dos formas no coinciden exactamente después de rotarlas. Entonces, aunque las dos formas en el gráfico son similares, no son simétricas con respecto al origen.

Identificar la simetría numéricamente

También puede identificar la simetría de una línea examinando los puntos en las dos líneas. Si una línea es simétrica con respecto al origen, las dos líneas tendrán puntos que son exactamente opuestos entre sí.

Tome este gráfico, por ejemplo.

Ya hemos rotado las líneas de esta gráfica y sabemos que son simétricas, pero identifiquemos algunos de los puntos en esta línea. Bien, ahora que tenemos los puntos (2, 2), (10, 2) y (6, 6), necesitamos saber exactamente el opuesto de los puntos. Eso nos daría (-2, -2), (-10, -2) y (-6, -6). ¿Están esos puntos en el otro lado del gráfico? ¡Si! Coinciden perfectamente en la línea simétrica.

Mira los puntos en esta tabla.

¿Puedes identificar si estos puntos crean dos líneas simétricas sobre el origen? ¡Si! Los puntos (1, 2), (2, 4) y (3, 6) son exactamente lo contrario de los puntos (-1, -2), (-2, -4) y (-3, -6) . Trace esos puntos en el gráfico y gírelos. Puede ver que estos puntos forman dos líneas que son simétricas con respecto al origen.

Identificar la simetría algebraicamente

¿Qué pasa con la identificación de ecuaciones que crean líneas simétricas? Observa esta ecuación: x ^ 4 = y ^ 2 = 12. Puedes probar para ver si la ecuación tiene simetría con respecto al origen reemplazando los valores de x e y con valores negativos de x e y .

Ahora, evalúe la ecuación. Si tienes un valor negativo con un exponente par, como -x elevado a la cuarta potencia y -y elevado a la segunda potencia, obtendrás un número positivo. Por lo tanto, si evaluara esta ecuación, obtendría la misma ecuación que la original. Esta ecuación es simétrica con respecto al origen. Incluso podemos mirar la gráfica de esta ecuación y rotarla sobre el origen para ver si las líneas coinciden.

Bien, eche un vistazo a esta ecuación: x = 2 y – 7. Probemos esta para ver si es simétrica con respecto al origen. Reemplaza los valores de x e y con -x y -y , evalúa la ecuación. No obtenemos la misma ecuación; por lo tanto, la ecuación no es simétrica con respecto al origen.

Así es como se vería la ecuación en una gráfica.

Rotemos la ecuación (vea el video a las 05:05). Puede ver que las líneas no coinciden. Entonces sabemos con certeza que la ecuación no es simétrica con respecto al origen.

Resumen de la lección

En conclusión, puede reconocer la simetría sobre el origen de forma gráfica, algebraica y numérica. Para identificar si un gráfico es simétrico, puede rotar el gráfico en sentido horario o antihorario y ver si las dos líneas o formas coinciden. Cuando te dan los puntos de dos líneas, sabes que las líneas son simétricas con respecto al origen si los puntos son exactamente opuestos entre sí. Para identificar si una ecuación es simétrica con respecto al origen, simplemente reemplazar la x y Y valores con un -x y una -y. Luego evalúa la ecuación. Si obtiene la misma ecuación que la original, entonces la ecuación producirá una línea que es simétrica con respecto al origen. Es posible que desee utilizar dos pruebas para asegurarse de si algo es simétrico con respecto al origen.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Describe la simetría alrededor del origen.
• Explica cómo determinar si una gráfica es simétrica alrededor del origen rotando la gráfica o algebraicamente

Rodrigo Ricardo Editor y fundador