La regla de los signos
¡La arena está llena! Escuchamos a Rene Day Cart (sin relación con el famoso matemático-filósofo René Descartes) anunciando el juego por juego: ‘… toma el disco, patina a la izquierda, cambia a la derecha, cambia a la izquierda, dispara y …’
En esta lección, describimos polinomios como el juego por juego de Day Cart. En lugar de informar sobre izquierdas y derechas, hacemos un seguimiento de los cambios de signo. El número de cambios de signo está relacionado con el número de raíces. Comenzaremos con un ejemplo simple y desarrollaremos gradualmente nuestras habilidades. Al final de la lección, veremos cómo la regla de signos de Descartes predice que el número de raíces reales es como máximo igual al número de cambios de signo.
Raíces reales
¡Solo por diversión, hagamos una transmisión deportiva!
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Cifrado simétrico: definición y ejemplo
Desde la izquierda, la curva sube y cruza el eje horizontal (el eje x ). La curva sigue subiendo hasta que alcanza un pico positivo y luego desciende, cruzando el eje vertical (el eje y es la línea vertical discontinua). A medida que la curva continúa moviéndose hacia la derecha, la vemos cruzando el eje x , descendiendo por debajo del eje x y luego subiendo nuevamente donde una vez más cruza el eje x .
Los lugares en el eje x donde se cruza la curva son las raíces de la ecuación. A la derecha del eje vertical, las raíces son positivas. ¿Ves los círculos azules?
Para esta curva, también hay una raíz a la izquierda del eje y . Esta raíz tiene un valor negativo. ¿Ves el círculo verde?
Encontrar las raíces generalmente implica factorizar o graficar un polinomio. ¿Y si pudiéramos aprender algo sobre las raíces sin factorizar o graficar? Introduzca la regla de los signos de Descartes. Contar el número de cambios de signo predice el número de raíces. No sabremos dónde la curva cruza el eje x, pero sabremos cuántas raíces buscar.
La ecuación de nuestra curva de ejemplo es
Primera ley de difusión de Fick: ecuación y ejemplo
y = x ^ 3 + x ^ 2-10 x + 8
En el lado derecho, tenemos un polinomio en x . Los términos x se han ordenado de mayor a menor exponente. Al observar los signos de cada término, vemos más, más, menos y luego más. Comenzamos con un más, el siguiente término todavía era más, luego CAMBIÓ a menos y luego CAMBIÓ a más.
Dos cambios de signo. ¿Cuántas raíces positivas vimos en la trama? Dos. Pero, ¿qué pasa con la única raíz real negativa?
Para encontrar el número de raíces negativas, reemplace la x en la ecuación con – x .
x ^ 3 + x ^ 2-10 x + 8 se convierte en (- x ) ^ 3 + (- x ) ^ 2-10 (- x ) + 8 que es igual a
Fórmula de calor sensible, transferencia y ejemplo
– x ^ 3 + x ^ 2 + 10 x + 8.
¿Cuántos cambios de signo ahora? Comenzamos con menos, CAMBIADO a más, el siguiente término todavía era más y el último término era más. Número total de cambios de signo: 1. Número total de raíces negativas: 1. ¡Ajá!
La regla de los signos de Descartes nos dice:
- El número de raíces reales positivas es como máximo igual al número de cambios de signo. El número de raíces podría ser menor en múltiplos de dos.
- Después de reemplazar x con – x , el número de raíces reales negativas es como máximo igual al número de cambios de signo. Nuevamente, el número de raíces podría ser menor en múltiplos de dos.
¿Qué es esta idea de ‘múltiplos de dos’?
Los múltiplos de dos
Hagamos otro ejemplo:
x ^ 7 + x ^ 6 – 9 x ^ 5 + x ^ 4 + 24 x ^ 3 – 26 x ^ 2 – 16 x + 24
¡Un polinomio enorme! No se preocupe, no factorizar; solo contando los cambios de signo.
Los signos de los términos: más, más, menos, más, más, menos, más, más. Comenzamos con más, luego más, CAMBIADO a menos, CAMBIADO de nuevo a más, luego más, CAMBIADO a menos, CAMBIADO a más, permaneció en más y terminó con más. Un total de 4 cambios de signos. Por lo tanto, el número de raíces reales positivas es 4, 2 o 0. ¿Ves cómo se usa ‘menos por múltiplos de dos’? ¿Qué hay de las raíces reales negativas?
x ^ 7 + x ^ 6 – 9 x ^ 5 + x ^ 4 + 24 x ^ 3 – 26 x ^ 2 – 16 x + 24
Reemplazando x con – x :
– x ^ 7 + x ^ 6 + 9 x ^ 5 + x ^ 4 – 24 x ^ 3 – 26 x ^ 2 + 16 x + 24
¿Ves cómo el signo cambia solo para los términos con exponentes impares como 7, 5, 3 y 1? Menos CAMBIÓ a más, se quedó más, se quedó más, se quedó más, CAMBIÓ a menos, se quedó en menos, CAMBIÓ a más y se quedó más. Un total de 3 cambios de signo. Por lo tanto, el número de raíces reales negativas es 3 o 1. Nos detenemos en 1 y no continuamos restando 2 para obtener un 1. ¿Cómo se ve la gráfica de esta curva?
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Hay 2 raíces positivas y 3 raíces negativas. ¡Frio! Esto concuerda con las predicciones. Pero, ¿cómo es que tenemos 2 raíces positivas y no 4? ¿Y por qué siempre decimos raíces «reales»?
Esas dos raíces que faltan son raíces complejas. En este caso, 1 + i y 1-i. Las raíces complejas ocurren en pares, que es el ‘por qué’ de los ‘múltiplos de 2’. De lo contrario, no tendríamos todos los coeficientes reales. Puede mostrar esto expandiendo:
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El resultado es x ^ 2 – 2 x + 2; todos los coeficientes son reales. ¿Notas que las partes imaginarias están ausentes?
Resumen de la lección
Usando la regla de los signos de Descartes , podemos determinar el número posible de raíces reales positivas y negativas de una ecuación. Contamos el número de cambios de signo:
- El número de raíces reales positivas es como máximo igual al número de cambios de signo. El número de raíces podría ser menor en múltiplos de dos.
- Después de reemplazar x con – x , el número de raíces reales negativas es como máximo igual al número de cambios de signo. Nuevamente, el número de raíces podría ser menor en múltiplos de dos.
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