Relaciones y similitudes trigonométricas

Triángulos rectángulos

En el mundo de los triángulos, los triángulos vienen en todas las formas y tamaños. Es como sucede con la gente. ¿Sabes cómo las personas de una misma familia comparten determinadas características? Por ejemplo, me han reconocido primos lejanos porque compartimos la misma nariz grande. Sí, todos estamos encantados con eso. De todos modos, las familias de triángulos también comparten ciertas características.

Hoy vamos a hablar sobre la familia del triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es solo un triángulo con un ángulo recto. Entonces, todos los triángulos de esta familia comparten ese ángulo recto, como una nariz que no se puede perder.

Sin embargo, hay más en los triángulos rectángulos. Como una familia que se viste con trajes a juego, los triángulos rectángulos tienen lados que podemos etiquetar solo porque provienen de la misma familia. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Este es siempre el lado más largo, ya que está enfrente del ángulo más grande.

Estos otros dos lados tienen nombres que cambian según el ángulo en el que se esté enfocando. Es como si te pusieras pantalones en la cabeza, lo llamas sombrero. Bueno, no realmente. De todos modos, digamos que queremos hablar de este triángulo rectángulo en términos de este ángulo aquí, al que llamaremos theta.

Semejanza

Entonces, ese es un miembro de nuestra familia de triángulos rectángulos. ¿Y si también miramos a su hermana mayor? Aquí está DEF, la hermana de ABC .

Además, mire las longitudes de los lados de ABC . AC es 3, BC es 4 y AB (la hipotenusa) es 5. Con DEF , vemos que DF es 6, EF es 8 y DE (la hipotenusa) es 10. ABC y DEF son similares. Eso significa que tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. DEF es unos años mayor que ABC , de ahí la diferencia de tamaño.

Los lados de triángulos similares son proporcionales entre sí. Esto es importante. Considere la razón en ABC del lado opuesto theta a la hipotenusa. Eso es 3/5. En DEF , la radio de los lados correspondientes es 6/10. 3/5 = 6/10.

Podríamos hacer lo mismo con lo opuesto a los lados adyacentes. En ABC , es 3/4. En DEF , es 6/8. 3/4 = 6/8.

Relaciones trigonométricas

Entonces, los triángulos similares tienen lados proporcionados entre sí. ¿Qué tiene eso que ver con la trigonometría? ¡Todo! Este hecho sobre los triángulos rectángulos nos lleva a razones trigonométricas. Una razón trigonométrica es una razón entre dos lados de un triángulo rectángulo.

¿Has oído hablar de seno, coseno y tangente? Todo lo que hacen estos términos es poner etiquetas en estas proporciones de triángulos similares de los que hemos estado hablando. Es como descubrir que hay un nombre para lo que sea que comparten esas hermanas Kardashian.

Esa primera relación que miramos, ¿la opuesta sobre la hipotenusa? A eso lo llamamos seno . Podemos decir pecado (theta) = opuesto / hipotenusa.

Luego está el coseno . Podemos definir esto como el adyacente sobre la hipotenusa. Entonces, cos (theta) = adyacente / hipotenusa.

Si ampliamos nuestra metáfora familiar a estas proporciones trigonométricas, el seno y el coseno quizás sean como gemelos. ¿Conoces a esas personas que llaman a sus gemelos algo lindo, como Jaden y Kaden o Faith and Hope? Ese es tu seno y coseno. Tenga en cuenta que ambos presentan la hipotenusa en la parte inferior de la razón.

Y luego está la tangente . La tangente es lo opuesto a la adyacente. Entonces tan (theta) = opuesto / adyacente. Eso es como el tercer hermano que se siente excluido a veces, pero sigue teniendo una vida plena haciendo videos de lecciones de geometría. Vaya, me puse un poco personal.

De todos modos, eso es todo lo que significa el seno, el coseno y la tangente. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo theta (que solo representa cualquier ángulo), cualquier triángulo con ese mismo ángulo será similar. ¿Por qué? Porque si dos triángulos rectángulos comparten el ángulo theta, entonces son similares. Recuerda, si dos ángulos de un triángulo son iguales, también lo es el tercer ángulo. Y si los tres ángulos son iguales, entonces los triángulos son similares: los mismos ángulos, solo tal vez lados diferentes, pero los lados todavía están en proporción.

Y así el seno de theta, o la proporción de los lados, siempre será el mismo. Si theta es de 30 grados, entonces esa proporción del opuesto sobre la hipotenusa tendrá un valor. Si theta es de 45 grados, tendrá un valor diferente. Pero para todos los triángulos con ese ángulo de 30 grados, el seno de theta es siempre el mismo. Es como si toda la familia Kennedy tuviera el mismo acento. Bueno, excepto Arnold Schwarzenegger, pero se casó.

Podemos recordar estos términos con el acrónimo SOH CAH TOA . Eso es seno = opuesto / hipotenusa, coseno = adyacente / hipotenusa y tangente = opuesto / adyacente. SOH CAH TOA. Algunas personas mezclan los dos primeros y tratan de decir SAH COH TOA. Recuerde, existe esa rima interna de este acrónimo: entonces – cah – toe – ah. Os antes de As.

Resumen de la lección

Para resumir, miramos la familia de triángulos rectángulos. Todos estos triángulos comparten ese ángulo recto. Cuando sus ángulos son todos iguales, entonces son prácticamente hermanos. También se les llama similares. Esta similitud nos lleva a las razones trigonométricas, que son razones entre dos lados de un triángulo rectángulo.

Primero, está el seno. Esto es igual a lo contrario sobre la hipotenusa. Luego está el coseno, que es el adyacente sobre la hipotenusa. Finalmente, está la tangente, que es la opuesta a la adyacente. Podemos recordar estos ratios con el acrónimo SOH CAH TOA . Recuerda, rima: entonces – cah – toe – ah.

Los resultados del aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder:

• Recuerda qué hace que dos triángulos rectángulos sean similares
• Calcular seno, coseno y tangente
• Recuerde la útil sugerencia SOH CAH TOA

Rodrigo Ricardo Editor y fundador