Sopa de números
A Fred le encanta visitar a su abuela, Florene. No es la típica abuela, ya que se retiró de una carrera tecnológica muy activa. Esto ha impactado su vida doméstica. En lugar de hacer sopa de letras, cocina todo tipo de sopas de números.
Usando las creaciones de sopa de Florene, exploraremos formas de representar subconjuntos de números reales.
Conjuntos de números y subconjuntos
Florene comienza sus brebajes de sopa con fideos de forma natural. Estos números naturales incluyen 1, 2, 3,… y continúan hasta el infinito. Son los números de conteo. Ella llama a esto su sopa » Natural Set » o simplemente N para abreviar. Afortunadamente, Florene tiene una olla muy grande para este incontable conjunto de números.
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Al agregar un ingrediente, Florene crea una sopa completamente nueva llamada sopa «Whole Set»; abreviada W . Simplemente añadiendo 0 a los números naturales que tenemos los números enteros : 0, 1, 2, 3, … Vemos N es un subconjunto de W porque N está contenida W . Esta sopa es bastante saludable.
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Otra caja de ingredientes especiales hace que esta sopa sea aún más interesante. Florene agrega números naturales negativos a la mezcla. Su sopa ahora tiene números enteros : {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Esta es su sopa de «Conjunto de enteros»; también conocido como Z . ¿Por qué Z y no yo preguntas? Bueno, estoy reservado para el conjunto irracional, que aparece más adelante en esta clase de cocina. ¿Ves cómo Z contiene el conjunto de números enteros? Derecho, W es un subconjunto de Z . La forma compacta de escribir esto usa el símbolo ⊂ que significa que es un subconjunto de . Por tanto, N ⊂ W ⊂ Z. Los números entre llaves son otra forma de representar conjuntos. Por tanto, {1, 2, 3,…} ⊂ {0, 1, 2, 3,…} ⊂ {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. ¡Así es! Un número como 2 es un número natural, además de ser un número entero, además de ser un número entero. ¿Qué tal el número 0? De acuerdo, 0 es un número entero y un número entero, pero 0 no es un número natural.
La sopa » Integer Set » de Florene se ve así:
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Todavía hay una caja racional de ingredientes. Cualquier número que puede ser escrito como una / b está en esta caja ( un y b son números enteros). En este cuadro hay fracciones (fracciones propias e impropias), números mixtos y decimales. Por ejemplo, 2/3, 3/2, 2.5 y -22 1/5. ¿Qué tal 1 y 0? Bueno, si un y b son los mismos, entonces un / b es 1. Y 0 sucede para cualquier valor de b (distinto de 0) proporcionan una es 0. Por ejemplo, 256/256 = 1 y 0/256 = 0. estos ingredientes son los números racionales ( una y bestán en una proporción, que es una buena manera de recordar » racional »). Y la letra Q se usa para números racionales. ¡Qué! ¿Por qué no R ? Bueno, R se guarda para el conjunto de números reales.
¿Qué pasa con los subconjuntos?
N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q
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¿Pueden todos los números enteros llamarse números racionales? Respuesta: Sí, podemos escribir cualquier número entero como a / b .
¿Hay números racionales que no sean números enteros? Respuesta: Sí. Por ejemplo, 2/3 es un número racional pero no un número entero.
La sopa » Rational Set » de Florene:
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Solo falta un ingrediente más para completar la sopa » Real Set » de la abuela. Necesitamos números irracionales . Aunque parecen decimales, estos números no se pueden escribir como una razón a / b . De hecho, estos decimales no terminan, no tienen un patrón repetitivo y simplemente continúan hasta el infinito. ¿Quieres algunos ejemplos? El número π es 3.1415926… Tenga en cuenta que aproximamos π con 22/7, pero esto es solo una aproximación. Otros números irracionales son e , la base del logaritmo natural. e = 2.718281… y √2 = 1.41421… Por cierto, por alguna razón, a Fred realmente le gustan los números irracionales.
El conjunto de números reales , R , incluye tanto los números racionales como los irracionales. Tanto Q y que son subconjuntos de R . Pero Q y yo no tenemos números en común.
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Usando una idea de árbol
Además de las sopas de Florene, otra forma de conceptualizar los conjuntos de números es con una estructura de árbol . Realmente es un árbol invertido con la raíz en la parte superior. Entonces, en la parte superior está R , los números reales. Todo lo que está debajo de R es un número real.
Los números reales pueden ser racionales o irracionales. Por lo tanto, un nivel por debajo R es Q y yo . No hay conjuntos bajo I . Por otra rama, Q incluye Z , que incluye W , que incluye N . Esta estructura de árbol se ve así:
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Usando un diagrama de Venn
Un diagrama de Venn es la forma más tradicional de mostrar conjuntos.
El óvalo azul contiene todos los números enteros, mientras que el óvalo verde contiene todos los números naturales.
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Excepto por el número 0, estos conjuntos son iguales. También conocemos N ⊂ W.
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¿Ves el espacio fuera de N pero aún dentro de W ? ¿Qué crees que hay en este espacio? Resp .: el número 0, ya que pertenece a la serie W , pero no el conjunto N .
¿Qué pasa si usamos un diagrama de Venn para mostrar todos los números reales?
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Los números racionales y los números irracionales no tienen nada en común. Están separados sin superposición. Los otros conjuntos tienen una bonita relación de subconjunto mostrada por óvalos dentro de óvalos.
A Fred le gustaría interpretar todos los espacios del diagrama. Por ejemplo, vemos algo de naranja que no está cubierto por el azul y el verde. Este espacio tiene números enteros pero no números enteros ni números naturales. Fred coloca correctamente los números enteros negativos en este espacio. ¿Estás de acuerdo? Quizás sea hora de otro plato de sopa.
Resumen de la lección
Los números de conteo son los números naturales : N = {1, 2, 3,…}. Incluir 0 con N da el conjunto de números enteros : W = {0, 1, 2, 3,…}. Por lo tanto, N es un subconjunto de W y está escrito convenientemente como N ⊂ W . Los números enteros son Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Los números racionales , Q , se pueden escribir como la razón a / b donde a y b son números enteros con b≠ 0. Los números que no son racionales son números irracionales , I , como π y √2. Juntos, Q y que conforman todos los números en el conjunto de los números reales, R . No hay subconjuntos de I pero N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
Las formas convenientes de mostrar la relación de subconjuntos de los números reales es con una estructura de árbol y con un diagrama de Venn .
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