Representar transformaciones como composiciones

Composiciones de transformaciones

No soy muy fanático de los videojuegos, pero, en el pasado, estaba bastante loco por el Tetris, el juego en el que te mueves y giras piezas geométricas hechas de cuatro cuadrados para completar filas sin espacios abiertos.

A veces, podía simplemente mover una pieza o rotarla una vez mientras caía. Estos cambios y rotaciones individuales fueron ejemplos de un concepto geométrico llamado transformaciones , cambios en una forma que pueden afectar su tamaño, ubicación u orientación (la dirección en la que se enfrenta la forma). Con frecuencia, tuve que completar una serie de cambios y rotaciones para que cada pieza encajara en un espacio abierto. Cuando estaba realizando más de una transformación, una tras otra, en una sola pieza del juego, estaba realizando una composición de transformaciones. La pieza original del juego, antes de que le hiciera cambios, se llamaría preimagen , y la forma, después de una transformación o composición de transformaciones, se llamaría imagen.. Echemos un vistazo a algunos tipos de transformaciones y luego a algunas composiciones de ellas.

Isometrías

La transformación rígida y la isometría son términos que describen transformaciones que no cambian el tamaño de una forma. Examinaremos tres tipos aquí. Una traducción cambia la ubicación de una forma sin cambiar su orientación. En este caso, la preimagen, hexágono ABCDEF, se ha trasladado 6 unidades a la derecha para convertirse en la imagen, hexágono A’B’C’D’E’F ‘.

Una rotación cambia la ubicación y la orientación de una forma girándola. Para realizar una rotación, necesita conocer el centro de rotación y el ángulo de rotación . En este ejemplo, la preimagen, el triángulo ABC, se ha girado, utilizando el origen del plano de coordenadas como centro. Imagina que el triángulo gira alrededor del origen en una cuerda imaginaria y gira sobre la imagen, triángulo A’B’C ‘. Debido a que la cuerda imaginaria en su ubicación anterior y la cuerda en su nueva ubicación forman un ángulo recto, el ángulo de rotación es de 90 grados. También es importante tener en cuenta que la rotación se realizó en el sentido de las agujas del reloj.

Un reflejo cambia la ubicación y la orientación de una forma volteándola sobre una línea de reflejo . Esta vez, la preimagen, el triángulo ABC, se ha volteado sobre el eje x, la línea de reflexión , y se ha realizado una copia, la imagen A’B’C ‘. Observe que cada vértice , esquina, de la imagen se encuentra en la dirección opuesta a la preimagen, en relación con el eje x. Por ejemplo, B está 3 unidades por encima del eje x y B ‘está tres unidades por debajo del eje x.

Dilataciones

Un ejemplo de transformación que no es una isometría es una dilatación . Al realizar una dilatación, se cambia el tamaño de una forma. En este caso, el rectángulo ABCD se ha dilatado a A’B’C’D ‘. Debido a que las longitudes de los lados de la imagen son la mitad de las longitudes de la preimagen, el factor de escala de la dilatación es 1/2.

Teorema de composición

Cuando realiza una composición de isometrías , más de una transformación rígida, su resultado final también será una isometría. En otras palabras, la imagen final puede tener un cambio de ubicación u orientación, pero seguirá teniendo el mismo tamaño. Esto se conoce como teorema de composición . A menudo, una composición de transformaciones puede parecer una única transformación.

Composiciones de transformaciones similares

Por ejemplo, si ABCD se traslada 2 unidades hacia arriba y 3 hacia la derecha, como lo muestra la flecha verde, a A’B’C’D ‘, y luego se traslada 4 unidades hacia la derecha y 2 hacia abajo (ver flecha azul) , tiene el mismo efecto que si ABCD se hubiera trasladado una sola vez, 7 unidades a la derecha (indicado por la flecha roja).

También se puede crear una traducción mediante una serie de reflexiones. Aquí, en el Diagrama 1, vemos que A se refleja dos veces, una vez a través de la Línea 1 y nuevamente sobre la Línea 2. Estas dos reflexiones tienen el mismo efecto que una sola traslación 8 unidades hacia la izquierda, como se ve en el Diagrama 2.

Siempre es el caso, como se ve aquí, que cuando realiza dos reflexiones sobre líneas paralelas, obtiene el mismo resultado que realiza una sola traducción. Además, la distancia de la traslación siempre será el doble de la longitud de la distancia entre las dos líneas paralelas, así como 8 es el doble de largo que 4, como se muestra en el Diagrama 2.

Cuando la preimagen se refleja en el eje y y luego en el eje x (ilustrado por las flechas azul y roja), tiene el mismo resultado final que rotar la preimagen 180 grados alrededor del origen (ilustrado por la línea violeta). Este ejemplo demuestra el hecho de que dos reflexiones, una sobre cada eje, siempre tienen el mismo resultado final que girar la preimagen 180 grados alrededor del origen.

De hecho, la composición de dos reflexiones sobre líneas que se cruzan siempre tendrá el mismo resultado final que una sola rotación de la preimagen, aunque el ángulo de rotación variará.

Composiciones de diferentes transformaciones

Al contrario de todos los ejemplos anteriores, las composiciones no tienen por qué contener la misma transformación. Una reflexión deslizante es una composición de una reflexión y una traducción.

A continuación se muestra un ejemplo de la composición de una rotación y una dilatación por un factor de escala de 1/3.

Resumen de la lección

Existen numerosas formas de combinar varias traducciones, reflejos, rotaciones y dilataciones individuales en composiciones de transformación. Solo recuerda que cuando todas las transformaciones individuales que componen la composición son isometrías, tu resultado final también será una isometría. Una vez que comience a componer más de dos transformaciones, ¡encontrará que el número de combinaciones posibles es aún mayor! Este concepto es un factor importante en el diseño gráfico de todos los videojuegos que existen. Si te gustan los videojuegos, ¡tienes que agradecerles las transformaciones geométricas!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador