Rodrigo Ricardo

Resolver ecuaciones de varios pasos con varias variables

Publicado el 22 noviembre, 2020

Variables múltiples y pasos múltiples

¿Alguna vez ha tratado con una ecuación que tiene más de una variable? Si es así, no pudo resolverlo sin tener otras ecuaciones con esas variables en ellas. Esto es lo que se entiende por resolver una ecuación de varios pasos con múltiples variables.

Hay una regla básica a seguir cuando se trabaja con estas ecuaciones multivariables. La cantidad de diferentes variables en la ecuación es la cantidad de ecuaciones que necesita con esas variables en ellas. Por ejemplo, si tiene:

x + y = 1

usted tiene dos variables diferentes, x e y . Esto significa que necesitamos dos ecuaciones diferentes que contengan x e y . Como ya tenemos uno, necesitamos uno más para determinar x e y . Pongámonos manos a la obra y veamos cómo resolver este tipo de problemas a través de algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Determinar x y y utilizando las ecuaciones:

ex1

Solución: Veamos dos formas de resolver este sistema de ecuaciones.

Método 1

Resolveremos la primera ecuación para x . Luego, conectaremos ese valor a la x de la segunda ecuación y resolveremos para y . Luego, reemplazaremos y en la primera ecuación para determinar x .

Paso 1: resuelve x en la ecuación 1.

  • x = 1 – y

Paso 2: inserta esto en la ecuación 2.

  • 1 – y + 2 y = 10

Paso 3: Resuelve la ecuación del paso 2 para y .

  • 1 + y = 10
  • y = 9

Paso 4: Reemplaza 9 por y en la primera ecuación y resuelve para x .

  • x + 9 = 1
  • x = -8

Paso 5: Plug estos valores para x y y de nuevo en cualquiera de las ecuaciones para comprobar que las respuestas son válidas.

  • x + y = 1
  • -8 + 9 = 1

¡Bingo! ¡Nuestras respuestas son correctas! Resolvamos las mismas dos ecuaciones usando un método diferente.

Método 2

Esta vez, vamos a sumar ambas ecuaciones, pero para que esto funcione, necesitamos que una de las variables desaparezca. Observe que ambas ecuaciones tienen x en ella. Si multiplicamos la ecuación superior por -1, x desaparecerá cuando se sumen las dos ecuaciones.

  • -1 ( x + y = 1)
  • xy = -1

Ahora sumaremos estas ecuaciones, lo que da como resultado:

ex1b

Reemplazar y = 9 en la ecuación 1 da como resultado:

  • x + y = 1
  • x + 9 = 1
  • x = -8

¡Obtuvimos las mismas respuestas que en el método 1!

Ejemplo 2

Probemos con otro ejemplo. Resuelve para x y y para el sistema de ecuaciones:

ex2

Para este problema, vamos a resolver la segunda ecuación para √ x . Esto nos da:

x = 10 – √ y

Ahora sustituimos esta expresión por x en la primera ecuación. Esto nos da:

ex2a

Esta ecuación está en términos de y solamente, por lo que podemos resolverla para y . El primer paso será expandir lo que está entre paréntesis. Esto nos obliga a “FOIL”, que representa “primero, afuera, adentro, último” con respecto a los términos entre paréntesis. Esto se parece a:

ex2b

Ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver y . Para hacer esto, dividiremos ambos lados por -20, luego elevaremos ambos lados para obtener y . Esto se parece a:

ex2c

Ahora sustituimos este valor para y para y en la ecuación 1, lo que da como resultado:

ex2d

Ahora debemos comprobar nuestros valores de x e y para asegurarse de que son válidos. Conectaremos estos valores en la ecuación 1, lo que da como resultado:

ex2check

¡Nuestras respuestas son correctas! Podríamos resolver esto usando el método en el que sumamos las ecuaciones, pero podría resultar complicado y sería más complicado que resolverlo de la manera que acabamos de hacer.

Resumen de la lección

La regla básica para resolver ecuaciones multivariables y de varios pasos es asegurarse primero de tener el mismo número de ecuaciones que el número de variables diferentes en las ecuaciones. Luego, resuelve una de las ecuaciones para una de las variables y reemplaza esa expresión por lo que equivale a la otra ecuación. Una vez que hayas hecho esto, sigue las reglas del álgebra para resolver la variable solitaria. Luego, inserta ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver la otra variable.

En algunos casos, puede ser más fácil sumar las ecuaciones. Antes de hacer esto, es posible que una de las ecuaciones deba tener un valor distribuido a través de ella, de modo que cuando se agreguen las ecuaciones, una de las variables se elimine. Esto le permite resolver la variable solitaria.

El último paso en cualquiera de los métodos debe ser volver a insertar ambos valores en cualquier ecuación para verificar que las soluciones sean correctas.

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