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Resolver triángulos oblicuos usando la ley de los cosenos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Ley de los cosenos

Esta lección en video le mostrará cómo puede usar la ley de los cosenos , una fórmula que lo ayudará a resolver todo tipo de triángulos, para ayudarlo a encontrar el lado o ángulo faltante de cualquier tipo de triángulo. La fórmula es muy similar al Teorema de Pitágoras, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, con solo una diferencia. Aquí está:

ley de los cosenos

La única diferencia entre la ley de los cosenos y el Teorema de Pitágoras es que tenemos un menos 2 ab cos ( C ). Una manera fácil de recordar esta parte es recordar una , b , y c de nuevo. Tenemos una , b , y c nuevo, por lo que tenemos un 2 delante. Vea si puede pensar en otros trucos de memoria que le ayuden a recordar esta fórmula.

Al igual que en el Teorema de Pitágoras, nuestras letras minúsculas a , b y c representan los lados del triángulo. Pero como esta fórmula funciona para cualquier tipo de triángulo, nuestra letra c puede ser para cualquier lado del triángulo, no solo la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La letra grande C al final representa el ángulo C que es el lado opuesto c .

ley de los cosenos

Triángulos oblicuos

En esta lección de video, estamos viendo específicamente triángulos oblicuos . Estos son triángulos que no son triángulos rectángulos. ¿Qué tipo de triángulos cubre esto? Cubre todo tipo de triángulos. Cubre triángulos agudos, triángulos escalenos, triángulos obtusos e incluso triángulos equiláteros. Cualquier tipo de triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo.

En cuanto a la fórmula, podemos ver que nos puede ayudar a encontrar la medida del lado c si conocemos la medición de los otros dos lados, una y B , junto con el lado opuesto al ángulo c . También podemos encontrar la medida del ángulo C si conocemos las medidas de los tres lados. Podemos resolver la medida del ángulo C haciendo un reordenamiento algebraico de la fórmula.

¿Quieres ver un par de ejemplos de cómo se hace esto?

Ejemplo 1

Veamos este ejemplo, donde queremos encontrar la medida de un lado faltante.

Encuentra el lado c.

ley de los cosenos

Si este triángulo no estuviera etiquetado de ninguna manera, simplemente podríamos etiquetar el lado que queremos como lado c, ya que eso hará que nuestra fórmula sea más fácil de usar. Debido a que la fórmula funciona para cualquier triángulo, no importa qué lado etiquetemos con a , b o c . Podemos etiquetarlo de cualquier forma que nos facilite la resolución de problemas.

En este caso, el lado que queremos encontrar ya está etiquetado como lado c , lo que nos ayuda mucho. Podemos seguir adelante y etiquetar los otros dos lados como una y b . De nuevo, no importa cuál es cuál. Por lo tanto, voy a seguir adelante y etiquetar el 7 como parte de una y el 10 como lado b . Nuestro ángulo C , el ángulo opuesto al lado que queremos encontrar, es 81. Ahora, tenemos a = 7, b = 10 y C = 81. Introducimos estos valores en nuestra fórmula.

ley de los cosenos

Ahora podemos evaluar la fórmula y luego resolverla. Obtenemos c ^ 2 = 49 + 100 – 140 cos (81) = 149 – 21,9 = 127,1. Tomando la raíz cuadrada, obtenemos c = 11.27. Entonces, nuestro lado mide alrededor de 11.27. Cuando encuentre un lado faltante, no olvide terminar tomando la raíz cuadrada para obtener el lado c por sí solo.

Ejemplo 2

Ahora, veamos un ejemplo donde encontramos un ángulo faltante. ¿Recuerdas lo que dije sobre cómo podemos etiquetar nuestro triángulo para que nos ayude a usar la fórmula? Cualquiera sea el ángulo que estamos buscando, podemos etiquetarlo como ángulo C , el lado opuesto como el lado c , y los otros dos lados como lado una y el lado b .

Calcula la medida del ángulo x.

ley de los cosenos

Ah, en esta imagen, tenemos un ángulo x . Pero nuestra fórmula para la ley de los cosenos no tiene una x , tiene una C grande . ¿Qué podemos hacer? Sí, simplemente podemos volver a etiquetar nuestra x como ángulo C , luego nuestro 9 como lado c . Entonces podemos elegir arbitrariamente entre una y b para los otros dos lados. Usaremos a para 7 yb para 12. Entonces, tenemos a = 7, b = 12 y c = 9. Al insertar estos valores en nuestra fórmula, obtenemos esto:

ley de los cosenos

Vamos a evaluar tanto como nosotros podemos resolver antes de ángulo C . Obtenemos 81 = 49 + 144-168 cos ( C ). Esto se convierte en 81 = 193 – 168 cos ( C ). Ahora podemos trabajar en la solución para el ángulo C . Restamos 193 de ambos lados. Obtenemos -112 = -168 cos ( C ). Ahora podemos dividir ambos lados por -168. Obtenemos 0.66667 = cos ( C ).

Ahora, para obtener el ángulo C por sí mismo, realizaremos el cálculo del coseno inverso. En su calculadora, es posible que deba presionar la función o el botón inverso para hacer esto. Obtenemos C = 48,2. Entonces, nuestro ángulo x mide 48,2 grados, aproximadamente.

¿Qué aprendemos de este ejemplo? Encontrar la medida de un ángulo es un poco más complicado que encontrar la medida de un lado. Se requiere un poco de manipulación algebraica de la fórmula para resolver para el ángulo C . Debemos recordar que necesitamos tomar el coseno inverso al final para obtener el ángulo C por sí mismo. Pero, en general, no fue tan malo trabajar con él, ¿verdad?

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que la ley de los cosenos es una fórmula que te ayuda a resolver todo tipo de triángulos. Específicamente en esta lección de video, miramos triángulos oblicuos , triángulos que no son triángulos rectángulos. Nuestra fórmula se ve así:

ley de los cosenos

Las letras minúsculas a , b , y c representan los lados de un triángulo y la gran C significa el lado del ángulo opuesto c . Debido a que estamos tratando con cualquier tipo de triángulo, podemos etiquetar nuestro triángulo de cualquier manera que facilite la resolución de nuestro problema. Trata de la etiqueta de la cara que desea encontrar, ya lado C o el ángulo que desea encontrar, ya que el ángulo C .

Para usar esta fórmula para encontrar un lado faltante, necesitará conocer las medidas de los otros dos lados junto con el ángulo opuesto al lado que desea encontrar. Para encontrar la medida de un ángulo, necesitará conocer las medidas de los tres lados de su triángulo. Para encontrar la medida de un ángulo, también es necesario realizar alguna manipulación de álgebra para resolver el ángulo C .

Los resultados del aprendizaje

Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de ver esta lección en video:

  • Definir triángulo oblicuo
  • Identificar la ley de los cosenos
  • Explica cómo etiquetar un triángulo cuando se trabaja con la ley de los cosenos.
  • Usa la fórmula para encontrar un lado o un ángulo que falta

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